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6. Hall Effect, Quasi Fermi Level

Hall Effect

물질에 자기장과 그에 수직한 전압을 가해 주면 majority carrier와 캐리어 농도, mobility를 분석 가능
자계 내에서 움직이는 전하는 $F=qv\times B$ 의 로렌츠 힘을 받음
자계와 전압에 모두 수직한 방향으로 전위차 $V_H$ $V_{H}$ 형성
- n-type에서는 (-), p-type에서는 (+)전압 형성
- 정공이 만약 VB 전자의 빈 자리라고 할 경우 p-type 반도체의 $V_H$ 역시 전자에 의해 (-)전압이 형성된다.
- 하지만 실제로는 (+)전압이 형성되므로 정공 역시 빈 자리가 아닌 실제 입자라는 것을 알 수 있다.

Hall 전압이 가해지면 전위차에 의한 induced electric field가 형성
로렌츠 힘은 (-) > (+), 전계는 (+) > (-) 방향으로 형성
steady state에서 $F=q[E+v\times B]=0$ $F = q [E + v \times B] = 0$
- 홀 전압 $V_H=E_HW=E_YW=v_XB_ZW$
- p-type : $v_X=J_X/qp=I_X/qpWd$
  - $V_H=I_XB_Z/qpd$
  - $p=I_XB_Z/qdV_H$
- n-type : $v_X=-J_X/qn=-I_X/qnWd$
  - $V_H=-I_XB_Z/qnd$
  - $n=I_XB_Z/qd|V_H|$
- mobility $\mu=I_XL/qpV_XWd=I_XL/qnV_XWd$
Hall Coefficient $R_H$ $R_{H}$
- $R_{Hn}=-1/qn$
- $R_{Hp}=1/qp$

Quasi-Fermi Level

non-equilibrium 상태에서는 mass action law가 만족하지 않음 ( $np\not ={n_i^2}$ )
그러므로 전자, 정공에 대한 quasi-fermi level을 각각 정의
- $n=n_0+\Delta n=n_iexp[(F_N-E_i)/kT]$ $n = n_{0} + Δ n = n_{i} e x p [(F_{N} - E_{i}) / k T]$
  - $F_N=E_i+kTln(n/n_i)$
- $p=p_0+\Delta p=n_iexp[(E_i-F_P)/kT]$ $p = p_{0} + Δ p = n_{i} e x p [(E_{i} - F_{P}) / k T]$
  - $F_P=E_i-kTln(p/n_i)$
- $np=n_i^2exp[(F_N-F_P)/kT]$
$F_N>F_P$ : Carrier excess ( $np>n_i^2$ )
$F_N<F_P$ : Carrier deficit ( $np<n_i^2$ )
$F_N=F_P=E_F$ : equilibrium ( $np=n_i^2$ )

Low level injection 하에서 페르미 레벨 대비 minority carrier의 quasi fermi level은 majority carrier보다 큰 차이를 보임
- ex. $n_0=10^{15}$ , $p_0=10^5$ , $n_i=10^{10}$ , $\Delta n=\Delta p=10^{11}$
- $F_N=E_i+kTln(n/n_i)\simeq E_i+kTln(n_0/n_i)=E_i+kTln(10^5)$
- $F_P=E_i-kTln(p/n_i)\simeq E_i-kTln(\Delta p/n_i)=E_i-kTln(10)$
- $E_F=E_i+kTln(n_0/n_i)=E_i-kTln(p_0/n_i)=E_i+kTln(10^5)$

전류밀도 = diffusion + drift
- $J_P=qp\mu_pE-qD_p\nabla p$
- $\nabla p=\frac{n_i}{kT}e^{(E_i-E_F)/kT}(\nabla E_i-\nabla F_P)=\frac{qp}{kT}E-\frac{p\nabla F_P}{kT}$
  - $\nabla E_i=qE$
  - $E_i$ , $F_P$ 는 상수가 아니므로 각각 미분
- $J_P=qpE(\mu_p-\frac{qD_P}{kT})+\frac{qpD_p}{kT}\nabla F_P=\mu_pp\nabla F_P$
  - $\mu_p=\frac{qD_p}{kT}$ (einstein relationship)
$\begin{cases} J_P=\mu_pp\nabla F_p=\mu_pp\nabla(F_P-E_i)+\mu_pp\nabla E_i\\ J_N=\mu_nn\nabla F_n=\mu_nn\nabla(F_N-E_i)+\mu_nn\nabla E_i \end{cases}$ ${J_{P} = μ_{p} p \nabla F_{p} = μ_{p} p \nabla (F_{P} - E_{i}) + μ_{p} p \nabla E_{i} J_{N} = μ_{n} n \nabla F_{n} = μ_{n} n \nabla (F_{N} - E_{i}) + μ_{n} n \nabla E_{i}$
- $\mu_pp\nabla(F_P-E_i)$ : Drift Current
- $\mu_pp\nabla E_i$ : Diffusion Current

Pulse Doping

특정 위치에 대해서만 Donor 도핑 시
- 도핑 중심 영역은 균일한 농도를 갖게 되므로 변화가 없음, 도핑 농도가 변화하는 지점에 대해서 drift + diffusion
  - 도핑된 위치를 중심으로 바깥으로 diffusion
  - 이온화된 Donor과 확산된 전자에 의한 전계 형성, 도핑 농도가 높은 쪽으로 전자 drift
- 도핑 농도차가 생기는 지점을 경계로 안쪽은 +, 바깥쪽은 - 전하가 쌓여 equilibrium 상태

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5. Equation of State

Equations of state

실제 반도체에서 carrier action(generation, recombination, diffusion, drift)은 동시에 발생
그 결과 전자 및 정공 농도, 전위에 영향
Equations of state
- 반도체의 상태를 완벽하게 설명하기 위한 방정식
- carrier action의 효과를 모두 고려
- $n(x,y,z,t),\ p(x,y,z,t),\ V(x,y,z,t)$ 로 표현

Continuity Equation의 도출 과정
- 생성-결합을 제외한 보존 법칙 : $\nabla\cdot J=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$ $\nabla \cdot J = - \frac{\partial ρ}{\partial t}$
  - 전자의 $\rho=-qn$
    $\nabla\cdot J=q\frac{\partial n}{\partial t}$
  - 정공의 $\rho=qp$
    $\nabla\cdot J=q\frac{\partial p}{\partial t}$
- 생성-결합을 고려한 Continuity Equations
  - $\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{\partial n}{\partial t}|_{drift}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{diff}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{other}$
    $=\frac{1}{q}\nabla\cdot J_N+\frac{\partial n}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{other}$
  - $\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial p}{\partial t}|_{drift}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{diff}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{other}$
    $=-\frac{1}{q}\nabla\cdot J_P+\frac{\partial p}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{other}$
반도체의 상태 - 전자, 정공, 전위(Eq. of states) - 밴드 다이어그램은 서로 연관되어있는 상태
- 에너지 밴드를 그릴 수 있다 = 반도체 상태를 알 수 있다 = 정공, 전자, 전위를 안다

Equation Set used in Semiconductor device
- Conservation Law : 위치에 대한 비선형 2차 편미분방정식
  - $\frac{1}{q}\nabla\cdot J_N+\frac{\partial n}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{other}$
  - $-\frac{1}{q}\nabla\cdot J_P+\frac{\partial p}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{other}$
  - $\nabla\cdot D=\rho$ ( $\nabla^2V=-\rho/\epsilon$ )
- Constitutive Relations
  - $\rho=q(N_D^++p-N_A^--n)$ : Charge Neutality Condition
  - $D=-\epsilon E$
  - $J_N=qn\mu_nE+pD_N\nabla n$
  - $J_P=qp\mu_pE-qD_p\nabla p$
- 매우 작은 반도체 구조에는 슈뢰딩거 방정식 역시 고려

Minority Carrier Diffusion Equation

계산을 위한 가정
- 1차원 분석
- minority carrier에 의해 majority carrier가 구해짐
- 전계는 매우 작음 (= Diffusion Equation)
- uniform doping
  - 선형방정식 유도
  - uniform doping : $n=n_0(x,y,z)+\Delta n(t)$ 에서 $n_0$ 는 위치에 무관한 상수
- low-level injection
  - nonequilibrium 상태에 의한 초과 캐리어는 majority 캐리어 농도보다 매우 작다.
  - $\Delta n(t)<<n_0$
- 열에 의한 생성-재결합은 캐리어 농도 변화에 의해 간접적으로 발생
- 추가적인 변화는 빛 에너지에 의해서만 발생
Minority Carrier Diffusion Equation
- $\frac{\partial\Delta n_p}{\partial t}=D_N\frac{\partial^2\Delta n_p}{\partial x^2}-\frac{\Delta n_p}{\tau_n}+G_L$ (p-type)
- $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p}+G_L$ (n-type)
- Steady State : $\frac{\partial\Delta n_p}{\partial t}$ ( $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}$ ) $=0$
- No Concentration Gradient (No Diffusion, Uniformly Generated) :
  $D_P\frac{\partial^2\Delta n_p}{\partial x^2}$ ( $D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}$ ) $=0$
- No Thermal R-G : $\frac{\Delta n_p}{\tau_n}$ ( $\frac{\Delta p_n}{\tau_p}$ ) $=0$
- No Light : $G_L=0$

Solutions of Minority Carrier Diffusion Equation

주어진 조건 파악 : 반도체 물질, 온도, 전자-정공 농도, lifetime, 외부 자극 등등
초기 상태 정의 : Fully-ionized 상태에서의 전자, 정공 농도
방정식 조건 분석 : Steady State, No Diffusion 등등
방정식 풀이 계산
계산한 해가 앞의 조건을 만족하는지 재확인

ex. room temperature, uniformly generated, n-type
- minority carrier : $D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}$ $=0$ 이므로
- $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=-\frac{\Delta p_n}{\tau_p}+G_L$
- initial condition : $\Delta p_n(t=0)=0$
- $\therefore \Delta p_n(t)=G_L\tau_p(1-exp[-t/\tau_p])$
시간이 흐름에 따라 excess carrier는 0에서 $\Delta p$ 를 향해 수렴
재확인
- $G_L\tau_p$ 의 단위는 $1/cm^3$ , 정공 농도와 단위 동일
- low-level injection validity 확인

ex 2. room temperature, surface generated, n-type, $G_L=0$ $G_{L} = 0$
- steady state : $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p} = 0$
- General Solution : $\Delta p_n(x)=Ae^{-x/D_p\tau_p}+Be^{x/D_p\tau_p}$
- surface generation
  - $\Delta p_n(0)=\Delta P_{n0}$ , $\Delta p_n(\infty)=0$
  - 표면에서만 excess carrier 생성
- $\therefore \Delta p_n(x)=\Delta P_{n0}exp[-x/\sqrt{D_P\tau_p}\ ]$
- $\sqrt{D_p\tau_p}\equiv L_p$ : hole diffusion length
- diffusion length
  - $<x>=\frac{\int x\Delta p_n(x)}{\int \Delta p_n(x)}$ 는 x=0일 때 $\Delta p_n(x)$ 의 접선으로 나타남
  - 기댓값 $<x>$ 는 거리의 평균값, 즉 Diffusion에 의해 평균적으로 캐리어가 이동하는 거리를 의미
  - 캐리어의 이동 거리는 전속밀도 $D$ 와 lifetime $\tau$ 에 비례하게 됨

ex3. local carrier generation, n-type
- 특정 지점에서 Electron-hole pair가 계속 생성
- steady state : $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p} +g\delta(x)= 0$
- boundary condition : $\Delta p(\pm\infty)=0$
  - 생성 지점 좌우로 diffusion
- $\Delta p(x)=\begin{cases} Aexp(x/L_N)\ :\ x<0\\ Aexp(-x/L_N)\ :\ x\geq0 \end{cases}$
- 델타함수의 특성을 이용하여 해 계산 : $0^-$ ~ $0^+$ 적분
  - $A=gL_N/2D_N$
  - $\therefore\Delta p(x)=\begin{cases} (gL_N/2D_N)\ exp(x/L_N)\ :\ x<0\\ (gL_N/2D_N)\ exp(-x/L_N)\ :\ x\geq0 \end{cases}$

ex4. Instant local carrier generation, n-type, drift & diffusion
- ex3과 다르게 1회성 EHP 생성
- $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\mu_p\epsilon_0\frac{\partial\Delta p_n}{\partial x}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p}$
- diffusion에 의해 시간이 흐를수록 가우시안 형태의 분포가 폭이 넒어짐
  - $\Delta p(x,t)=p'(x,t)exp[-t/\tau_p]$
- boundary condition : $\Delta p(\pm\infty)=0$
- 미분방정식에 위의 해 대입
  - $\frac{\Delta p'}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2p'}{\partial x^2}-\mu_p\epsilon_0\frac{\partial p'}{\partial x}$
  - $\therefore p'(x,t)=\frac{\Delta p_s}{\sqrt{4\pi D_Pt}}exp[-\frac{(x-\mu_p\epsilon_0t)^2}{4D_Pt}](cm^{-2})$
  - $\Delta p_s$ : Electron hole pair 생성에 의한 excess carrier
- $p'$ 를 위 해에 대입
  - $\Delta p(x,t)=\frac{\Delta p_s\ exp[-t/\tau_P]}{\sqrt{4\pi D_Pt}}exp[-\frac{(x-\mu_p\epsilon_0t)^2}{4D_Pt}](cm^{-2})$
  - $e^{-t/\tau_P}$ : 재결합에 의한 excess carrier 농도 감소
  - $\sqrt{4\pi D_Pt}$ : diffusion에 의한 peak 농도 감소
  - $4D_Pt$ : diffusion에 의한 분포 폭 증가
  - $(x-\mu_p\epsilon_0t)^2$ : drift에 의한 shift
- 재확인
  - $\Delta p_s=0$ $Δ p_{s} = 0$
    - Electron-Hole pair 생성이 없음
    - $\Delta p(x,t)$ =0
  - limiting case
    - $\tau_p=0$ $τ_{p} = 0$
      - excess carrier 생성 즉시 소멸
      - $e^{-t/\tau_P}=0$ 이 되므로 $\Delta p(x,t)=0$
    - $D_P=\infty$ $D_{P} = \infty$ or $t=\infty$ $t = \infty$
      - 생성된 excess carrier가 완전히 diffusion
      - $\Delta p(x,t)=0$

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1. Expected Value of R.V function

N개 R.V. 함수에 대해서
- $E[X]=\int xf_X(x)dx$
- R.V. Z=X+Y일 때 $E[Z]=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}(X+Y)f_{X,Y}(x,y)dxdy=E[X]+E[Y]$
- 함수 g(x,y)에 대해 $\overline{g}=E_{X,Y}[g(x,y)]=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}g(x,y)f_{X,Y}(x,y)dxdy$
- $E[\sum_i\alpha_iX_i]=\sum_i\alpha_iE[X_i]$

결합 Moment

$m_{nk}\equiv E_{X,Y}[X^nY^k]=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}x^ny^kf_{X,Y}(x,y)dxdy$
$m_{n0}=E[X^n]$ , $m_{0k}=E[Y^k]$
n+k = moment의 차수
Correlation(상관관계) : $R_{XY}=m_{11}=E_{X,Y}[XY]$ $R_{X Y} = m_{11} = E_{X, Y} [X Y]$
- $E[XY]=E[X]E[Y]$ 면 uncorrelated
- 독립시행이면 uncorrelated
- correlated면 독립이 아님
- 하지만 uncorrelated라고 해서 독립인 것은 아님
- $R_{XY}=0$ 이면 X와 Y는 직교(orthogonal)한다고 표현

결합 Central Moment

$\mu_{nk}=E_{X,Y}[(X-\overline{X})^n(Y-\overline{Y})^k]$
랜덤변수의 분산 : $\mu_{20}=\sigma_X^2$ , $\mu_{02}=\sigma_Y^@$
Covariance : $C_{XY}=C_{YX}=\mu_{11}$ $C_{X Y} = C_{Y X} = μ_{11}$
$=E[(X-\overline{X})(Y-\overline{Y})]=E[XY]-\overline{XY}=R_{XY}-\overline{XY}$ $= E [(X - \overline{X}) (Y - \overline{Y})] = E [X Y] - \overline{X Y} = R_{X Y} - \overline{X Y}$
- $C_{XY}=0$ 이면 uncorrelated
- $C_{XY}=-E[X]E[Y]$ 면 orthogonal
- 상관계수(Correlation Coefficient) : $\rho=\frac{\mu_{11}}{\sqrt{\mu_{20}\mu_{02}{}}}=\frac{C_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y}=E[\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}]$ $ρ = \frac{μ _{11}}{μ _{20} μ _{02}} = \frac{C _{X Y}}{σ _{X} σ _{Y}} = E [\frac{x - μ _{x}}{σ _{x}} \frac{y - μ _{y}}{σ _{y}}]$
  - 상관계수의 크기는 항상 1보다 작음

증명 : Cauchy-Schwarz inequality

$f(x)=\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}f_{X,Y}(x,y)$ , $g(y)=\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}f_{X,Y}(x,y)$
가우스 분포이므로 우변은 1이 됨. $\therefore -1\leq|\rho|\leq1$

2. Joint Characteristic Function

$\Phi_{X,Y}(w_1, w_2)=E[\ exp[jw_1X+jw_2Y]\ ]$
$=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}f_{X,Y}(x,y)exp[jw_1X+jw_2Y]dxdy$
inverse Ch. : $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}\Phi_{X,Y}(w_1,w_2)exp[-(jw_1X+jw_2Y)]dw_1dw_2$
marginality : $\Phi_X(w)=\Phi_{X,Y}(w,0)$
Joint Moment : $m_{n,k}=(-j)^{n+k}\frac{\partial^{n+k}\Phi_{X,Y}(w_1,w_2)}{\partial w_1^n\partial w_2^k}|_{w1=w2=0}$

3. Joint Gaussian Random Variable

$f_{\it{X}}(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n(det\sum)}}exp[-\frac{1}{2}(X-\mu)^{T}\sum^{-1}(X-\mu)]}$
2차원 Gaussian R.V.에 대해
- $\sum=\begin{bmatrix} \sigma_x^2&\rho\sigma_x\sigma_y\\ \rho\sigma_x\sigma_y&\sigma_y^2 \end{bmatrix}$
- $\sum^{-1}=\frac{1}{1-\rho^2}\begin{bmatrix} \frac{1}{\sigma_x^2}&-\frac{\rho}{\sigma_x\sigma_y}\\ -\frac{\rho}{\sigma_x\sigma_y}&\frac{1}{\sigma_y^2} \end{bmatrix}$
- $det\sum=\sigma_X^2\sigma_Y^2(1-\rho^2)$
- $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}exp[-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x-\mu_x}{\sigma_X})^2-2\rho(\frac{x-\mu_x}{\sigma_X})(\frac{y-\mu_y}{\sigma_Y})+(\frac{y-\mu_y}{\sigma_Y})^2]]$

property : 2차원 joint gaussian R.V $f_{X,Y}(x,y)$ $f_{X, Y} (x, y)$
- $X$ ~ $N(\mu_x,\sigma_X^2)$
- $E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]=\rho\sigma_X\sigma Y$ (Covariance)
- $E[XY]=\rho\sigma_X\sigma Y+\mu_x\mu_y$
X,Y가 joint Gaussian이고 $\rho=0$ 이면 uncorrelated
임의의 uncorrelated한 gaussian R.V.는 독립
가우시안의 선형 transform, marginal, conditional distribution은 모두 gaussian

Linear Transform(Coordination Rotation)
- 랜덤변수 X, Y를 uncorrelated한 랜덤변수로 선형 변환(각도 $\theta$ 로 회전)
- $\begin{bmatrix} Y_1\\ Y_2 \end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix} cos\theta&sin\theta\\ sin\theta&cos\theta \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} X\\ Y \end{bmatrix}$
- $C_{Y_1Y_2}=(\sigma_Y^2-sigma_X^2)\frac{sin2\theta}{2}+C_{XY}cos2\theta$ $C_{Y_{1} Y_{2}} = (σ_{Y}^{2} - s i g m a_{X}^{2}) \frac{s i n 2 θ}{2} + C_{X Y} c o s 2 θ$
  - 위 식이 0일 때 uncorrelated
  - $\theta=\frac{1}{2}tan^{-1}[\frac{2\rho\sigma_X\sigma_ Y}{\sigma_X^2-\sigma_Y^2}]$

4. Transformation of Multiple Random Variables

N차원 랜덤변수 $T\ :\ Y=g(X_1,X_2,....X_N)$ $T : Y = g (X_{1}, X_{2}, . . . . X_{N})$ 이 있다고 할 때
- $F_Y(y)=P(g()\leq y)$
  $\int...\int f_{X_1,...,X_N}(x_1,...,x_N)dx_1...dx_N$
- $f_Y(y)=\frac{dF_Y(y)}{dy}$ $f_{Y} (y) = \frac{d F _{Y} ( y )}{d y}$
  $=f_X(x_1,...x_N)|J|$ $= f_{X} (x_{1}, . . . x_{N}) ∣ J ∣$
  - $x_1=T^{-1}(y),...,x_N=T_N^{-1}(y)$
  - $y=[y_1,...y_N]^T$
  - $J=\begin{bmatrix} \frac{\partial T_1^{-1}}{\partial y_1}&...&\frac{\partial T_1^{-1}}{\partial y_N}\\ ...&...&...\\ \frac{\partial T_N^{-1}}{\partial y_1}&...&\frac{\partial T_N^{-1}}{\partial y_N} \end{bmatrix}$
  - J : Jacobian determinant
    - 실수값 p에대해 J가 0이 아니면 함수 f는 역함수가 존재
    - p에서 J의 절대값은 그 점에서의 수축/확산에 대한 정보를 제공

ex. $\begin{cases} Y_1=aX_1+bX_2\\ Y_2=cX_1+dX_2 \end{cases}$ ${Y_{1} = a X_{1} + b X_{2} Y_{2} = c X_{1} + d X_{2}$ : $\begin{bmatrix} Y_1\\ Y_2 \end{bmatrix}$ $[Y_{1} Y_{2}]$ $=\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}$ $= [a c b d]$ $\begin{bmatrix} X_1\\ X_2 \end{bmatrix}$ $[X_{1} X_{2}]$
- $f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)=f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)|\frac{\partial(x_1,x_2)}{\partial(y_1,y_2)}|$
  $=f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\ /\ |\frac{\partial(y_1,y_2)}{\partial(x_1,x_2)}|=f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)\ /\ |\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}|$
  $=\frac{1}{|ad-bc|}f_{X_1,X_2}(\frac{dy_1-by_2}{ad-bc},\frac{-cy_1+ay_2}{ad-bc})$

5. Estimation

Estimation of Mean

랜덤한 N개 값에서의 sample mean :
- $\hat{\overline{x_N}}=\frac{1}{N}\sum^N_{n=1}x_n$
N개 random variable에서 추정한 sample mean :
- $\hat{\overline{X_N}}=\frac{1}{N}\sum^N_{n=1}X_n$
좋은 Estimate의 조건
- unbiased : 예측값의 평균이 실제 평균으로 수렴할 것
  - $E[\hat{\overline{X_N}}]=E[\frac{1}{N}\sum X_n]=\frac{1}{N}\sum E[X_n]=\overline{X}$
- 예측값의 분산이 최소값이 될 것
  - $E[(\hat{\overline{X_N}}-\overline{X})^2]=E[\hat{\overline{X_N}}^2]-\overline{X}^2=\frac{\sigma_X^2}{N}$
  - sample 개수 N이 충분히 커지면 sample 분산은 0으로 수렴
Chebychev's Inequality
- $P(|\hat{\overline{X_N}}-\overline{X}|<\epsilon)\geq1-\frac{\sigma_{\hat{\overline{X_N}}}^2}{\epsilon^2}=1-\frac{\sigma_X^2}{N\epsilon^2}$
- N이 충분히 큰 상태에서 sample mean과 X의 실제 mean이 같을 확률은 1로 수렴

Estimation of Variance

sample variance $V_N\equiv\frac{1}{N}\sum(X_n-\hat{\overline{X_N}})^2$ 으로 sample variance를 가정
$E[V_N]=\frac{N-1}{N}\sigma_X$ $E [V_{N}] = \frac{N - 1}{N} σ_{X}$ 이므로 not unbiased
- 양변에 $\frac{1}{N-1}$ 을 곱해 unbiased인 분산의 예측값을 계산 가능
- $\hat{\sigma_X}^2=\frac{1}{N-1}\sum(X_n-\hat{\overline{X_N}})^2$

Law of large numbers

weak law : 충분히 큰 N에 대해서 sample mean은 실제 평균과 동일
strong law : 충분히 큰 N에 대해서 sample mean이 실제 평균과 동일할 확률이 1로 수렴

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Rating Problem

Entropy

정보량에서의 Entropy : 정보의 양이 아닌, 랜덤변수에 정의되는 성질

정보의 가치는 당연한 사실일수록 낮을 것이며,

예측이 가능하지 않을수록, 즉 불확실성(Uncertainty)이 높을수록 정보량이 많아짐

정보가 예측가능한 것이라면 정보의 가치가 없게됨

결국, 발생 확률이 작을수록 정보의 가치가 높음

따라서, 정보량은 발생 확률의 반비례적인 함수이어야 됨

출처 : ktword - 정보량

불확실성이 높을수록 정보량이 많아진다
ex. 동전 1개를 던질 때의 entropy
- $h(X) = -\sum P_ilog_2 P_i$
- $P_X(x) = \begin{cases} 1/2(x=0)\\ 1/2(x=1) \end{cases}$
- $h(x) = -\frac{1}{2}log_2\frac{1}{2}-\frac{1}{2}log_2\frac{1}{2}=1$
ex2. 주사위 던지기
- $h(x) = 6 \times\frac{1}{6}\times\log_26 = 2.585$
- 만약 주사위 1000개를 던진다면 2585bit가 필요
morse code
- 영단어에서 가장 많이 쓰이는 e, t의 부호가 가장 짧다.
- 엔트로피 정의를 보면 $h(X) = -\sum P_ilog P_i$ 에서 정보의 출현 확률과 엔트로피(정보량)은 반비례함을 알 수 있다.
엔트로피가 작다
= PMF가 편중되어 있는 상태(물리에서의 엔트로피와 비슷하게 해석)

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Rating Problem

https://youtu.be/8idr1WZ1A7Q

평점의 정확도 판단을 판단해보자
- n : 리뷰의 개수
- k : '좋아요' 를 남긴 개수
- p : 리뷰를 남기는 사람이 '좋아요'를 달 확률
- n과 k를 이용하여 p를 계산, p가 높을 수록 좋은 제품이라고 추정 가능
Bayes rule : $\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
- $P(Θ=p∣N=n,K=k)=P(K=k∣Θ=p,N=n)P(Θ=p∣N=n)P(K=k∣N=n)P(\Theta=p|N=n, K=k) = \frac{P(K=k|\Theta=p,N=n)P(\Theta=p|N=n)}{P(K=k|N=n)}$
- 사후 확률 : [n개 리뷰, k개 좋아요일 때 | 좋아요를 달게 될 확률이 p인 확률]
- 인과 : [좋아요를 달 확률이 p일 때 리뷰가 n개인 경우 | k개 좋아요일 확률]
- 사전 확률 : [n개 리뷰일 때 | 좋아요 확률이 p일 확률]
  - $P(Θ=p∣N=n)=P(Θ=p)P(\Theta=p|N=n) = P(\Theta=p)$ 로 판단 가능
- 관찰 결과 : [n개 리뷰 때 | k개 좋아요의 확률]
$P(K=k∣Θ=p,N=n)=(nk)pk(1−p)n−kP(K=k|\Theta=p,N=n)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ (이항분포)
$P(Θ=p)P(\Theta=p)$ 를 $Beta(α,β)=pα−1(1−p)β−1∫01qα−1(1−q)β−1dq=pα−1(1−p)β−1B(α,β)Beta(\alpha, \beta) = \frac{p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}}{\int^1_0q^{\alpha-1}(1-q)^{\beta-1}dq} = \frac{p^{\alpha-1}(1-p)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$ 로 가정
- 사전 확률이 정규 분포 형태로 나타나기 위해 $α=β=2\alpha=\beta=2$ 로 선정, $P(Θ=p)=Beta(2,2)=p(1−p)B(2,2)P(\Theta=p) = Beta(2,2) = \frac{p(1-p)}{B(2,2)}$
- 베타 함수를 이용하면 사후 확률을 추정할 수 있다.
- 출처 : [DOINGBAYESIAN] CH5. INFERRING A BINOMIAL PROPORTION VIA EXACT MATHEMATICAL ANALYSIS
$\int^1_0P(K=k|\Theta=q,N=n)f_{\Theta}(q)dq$
$P(Θ=p∣N=n,K=k)P(\Theta=p|N=n, K=k)$ 식을 정리하면
$(nk)pk(1−p)n−kBeta(2,2)∫01(nk)qk(1−q)n−kBeta(2,2)dq=pk+1(1−p)n−k+1∫01qk+1(1−q)n−k+1dq\frac{\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}Beta(2,2)}{\int^1_0\binom{n}{k}q^{k}(1-q)^{n-k}Beta(2,2)dq} = \frac{p^{k+1}(1-p)^{n-k+1}}{\int^1_0q^{k+1}(1-q)^{n-k+1}dq}$
즉 베타분포 $B (k + 2, n - k + 2)$ 의 식으로 나타남
이 식의 최빈값은 $\frac{a-1}{a+b-2}=\frac{k+1}{n+2}$ 로 나타난다.
아래 두 선은 n=1, 2인 경우, 노란 선은 n=1000인 경우, 시행회수가 증가함에 따라 분포의 평균이 더 높은 확률로 표시되는 것을 볼 수 있다.
이를 통한 3가지 경우를 가정

(n,k)	(10,10)	(50,48)	(200,186)
$B (k + 2, n - k + 2)$	B(12,2)	B(62,4)	B(202,16)

적색 : (10,10) / 녹색 : (50, 48) / 청색 : (200, 186)
즉 50명 중 48명이 좋아요를 누른 경우가 좋아요를 누를 확률이 대략 94.2%가 됨을 알 수 있다.

Entropy

정보량에서의 Entropy : 정보의 양이 아닌, 랜덤변수에 정의되는 성질

정보의 가치는 당연한 사실일수록 낮을 것이며,

예측이 가능하지 않을수록, 즉 불확실성(Uncertainty)이 높을수록 정보량이 많아짐

정보가 예측가능한 것이라면 정보의 가치가 없게됨

결국, 발생 확률이 작을수록 정보의 가치가 높음

따라서, 정보량은 발생 확률의 반비례적인 함수이어야 됨

출처 : ktword - 정보량

불확실성이 높을수록 정보량이 많아진다
ex. 동전 1개를 던질 때의 entropy
- $-\sum P_ilog_2 P_i$
- $PX(x)={1/2(x=0)1/2(x=1)P_X(x) = \begin{cases} 1/2(x=0)\\ 1/2(x=1) \end{cases}$
- $-\frac{1}{2}log_2\frac{1}{2}-\frac{1}{2}log_2\frac{1}{2}=1$
ex2. 주사위 던지기
- $\times\frac{1}{6}\times\log_26 = 2.585$
- 만약 주사위 1000개를 던진다면 2585bit가 필요
morse code
- 영단어에서 가장 많이 쓰이는 e, t의 부호가 가장 짧다.
- 엔트로피 정의를 보면 $-\sum P_ilog P_i$ 에서 정보의 출현 확률과 엔트로피(정보량)은 반비례함을 알 수 있다.
엔트로피가 작다
= PMF가 편중되어 있는 상태(물리에서의 엔트로피와 비슷하게 해석)

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1. Random Vector

랜덤벡터 = 랜덤변수의 곱집합(Cartesian Product)
2차원 벡터 (X, Y), 3차원 벡터 (X, Y, Z), ...

2. Joint Distribution

결합 분포 CDF $FX,Y(x,y)≡P(X≤x, Y≤y)F_{X, Y}(x,y)\equiv P(X\leq x,\ Y\leq y)$ $F_{X, Y} (x, y) \equiv P (X \leq x, Y \leq y)$
- X, Y CDF의 교집합 : $P(A∩B)P(A\cap B)$
- Discrete R.V.의 경우 2개 축을 갖는 테이블로 표현
  - Marginal Probability : 1개 축이 갖는 확률
  - ex. $Y=yj)=∑j=13p1jP(X=x_1)=\sum_{j=1}^3P(X=x_1,\ Y=y_j)=\sum_{j=1}^3p_{1j}$
- (X, Y)의 확률계산은 랜덤변수 X, Y의 모든 정보(확률)을 알 때 가능

Joint CDF Property

$−∞)=FX,Y(−∞,y)=FX,Y(x,−∞)=0F_{X, Y}(-\infty,\ -\infty)=F_{X,Y}(-\infty,y)=F_{X,Y}(x,-\infty)=0$
$FX,Y(∞,∞)=1F_{X,Y}(\infty,\infty)=1$
$0≤FX,Y(x,y)≤10\leq F_{X,Y}(x,y)\leq1$
$F_{X,Y}$ 는 x, y의 범위 내에서 감소하지 않음
$y1<Y≤y2)P(x_1<X\leq x_2,\ y_1<Y\leq y_2)$
$=FX,Y(x2,y2)+FX,Y(x1,y1)−FX,Y(x1,y2)−FX,Y(x2,y1)≥0=F_{X, Y}(x_2, y_2)+F_{X,Y}(x_1,y_1)-F_{X,Y}(x_1,y_2)-F_{ X,Y}(x_2,y_1)\geq0$
Marginality : $FX,Y(x,∞)=FX(x), FX,Y(∞,y)=FY(y)F_{X,Y}(x,\infty)=F_X(x),\ F_{X,Y}(\infty,y)=F_Y(y)$ $F_{X, Y} (x, \infty) = F_{X} (x), F_{X, Y} (\infty, y) = F_{Y} (y)$
- 랜덤벡터 CDF $F_{X, Y}(x,y)$ 에서 CDF $F_X(x)$ , $F_Y(y)$ 를 얻을 수 있음
- 하지만 $F_X(x)$ , $F_Y(y)$ 에서 $F_{X, Y}(x,y)$ 계산은 불가
- 예외 : X, Y가 확률적으로 독립된 상태일 때
  $P (A, B) = P (A) P (B)$ , $F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$

3. Joint Density

결합 밀도 $fX,Y(x,y)≡∂2FX,Y(x,y)∂x∂yf_{X, Y}(x,y)\equiv\frac{\partial^2F_{X,Y}(x,y)}{\partial x\partial y}$ $f_{X, Y} (x, y) \equiv \frac{\partial ^{2} F _{X, Y} ( x , y )}{\partial x \partial y}$
- Discrete R.V.에서는 델타함수의 식으로 표현
- $fX,Y=(x,y)=∑n=1N∑m=1MP(xn,ym)δ(x−xn)δ(y−yn)f_{X,Y}=(x,y)=\sum_{n=1}^N\sum_{m=1}^MP(x_n,y_m)\delta(x-x_n)\delta(y-y_n)$
Properties
1. $∫−∞∞∫−∞∞fX,Y(x,y)dydx=1\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}f_{X,Y}(x,y)dydx=1$
2. $FX,Y(x,y)=∫−∞x∫−∞yfX,Y(u,v)dvduF_{X,Y}(x,y)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f_{X,Y}(u,v)dvdu$
3. $FX(x)=∫−∞x∫−∞yfX,Y(u,v)dvduF_X(x)=\int^x_{-\infty}\int^y_{-\infty}f_{X,Y}(u,v)dvdu$
4. $P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)P(x_1<X\leq x_2,y_1<Y\leq y_2)$
  $=∫x1x2∫y1y2fX,Y(x,y)dydx=\int^{x2}_{x1}\int^{y2}_{y1}f_{X,Y}(x,y)dydx$
5. $fX(x)=∫−∞∞fX,Y(x,y)dyf_X(x)=\int^\infty_{-\infty}f_{X,Y}(x,y)dy$
- $f_{X,Y}(x,y)$ 에서 PDF $f_X(x)$ , $f_Y(y)$ 계산 가능
- 독립사건을 제외하고 $f_X(x)$ , $f_Y(y)$ 에서 $f_{X,Y}(x,y)$ 를 계산할 수는 없음

4. Conditional Distribution

조건부 확률 $P(A∣B)≡P(A,B)P(B)P(A|B)\equiv\frac{P(A,B)}{P(B)}$
Conditional CDF $FX(x∣B)=P[(X≤x)∩B]P(B)F_X(x|B)=\frac{P[(X\leq x)\cap B]}{P(B)}$ $F_{X} (x ∣ B) = \frac{P [ ( X \leq x ) \cap B ]}{P ( B )}$
- 연속적인 랜덤변수 X, Y에 대해 $FX,Y(x∣Y=y)=P[(X≤x)∩[Y=y]]P(Y=y)F_{X,Y}(x|Y=y)=\frac{P[(X\leq x)\cap [Y=y]]}{P(Y=y)}$
- 연속적인 랜덤변수에서 $P (Y = y) = 0$ : 0/0형태로 나타나는 문제
- CDF 계산이 안될 경우 PDF식을 구한 후 적분
Conditional PDF $fX(x∣B)=dFX(x∣B)dxf_X(x|B)=\frac{dF_X(x|B)}{dx}$

Bayes' Theorem

$fY(y∣x)=fY(y)fX(x∣y)fX(x)f_Y(y|x)=\frac{f_Y(y)f_X(x|y)}{f_X(x)}$ $f_{Y} (y ∣ x) = \frac{f _{Y} ( y ) f _{X} ( x ∣ y )}{f _{X} ( x )}$
- $f_X(x)$ : 관찰된 것
- $f_Y(y|x)$ : 사후 확률
- $f_X(x|y)$ : likelihood - 인과관계
- $f_Y(y)$ : 사전 확률 - 실험 전 일반적인 확률
Marginalization : $fX(x)=∫−∞∞fX(x∣y)fY(y)dy=∫−∞∞fX,Y(x,y)dyf_X(x)=\int^\infty_{-\infty}f_X(x|y)f_Y(y)dy=\int^\infty_{-\infty}f_{X,Y}(x,y)dy$

5. Sum of Independent R.V.

독립적인 두 R.V. X,Y에 대해 W=X+Y를 정의
$FW(w)=F(W≤w)=F(X+Y≤w)F_W(w)=F(W\leq w)=F(X+Y\leq w)$
$∫−∞∞∫−∞W−YfX,Y(x,y)dxdy\int^\infty_{-\infty}\int^{W-Y}_{-\infty}f_{X,Y}(x,y)dxdy$
(X, Y가 indep.) $∫−∞∞fY(y)∫−∞W−YfX(x)dxdy\int^\infty_{-\infty}f_Y(y)\int^{W-Y}_{-\infty}f_X(x)dxdy$
$fW(w)=dFW(w)dwf_W(w)=\frac{dF_W(w)}{dw}$
$=∫−∞∞fY(y)fX(w−y)dy=∫−∞∞fX(x)fY(w−x)dx=\int^\infty_{-\infty}f_Y(y)f_X(w-y)dy=\int^\infty_{-\infty}f_X(x)f_Y(w-x)dx$
$f_X(w)*f_Y(w)$ : Convolution

7. Central Limit Theorem

충분히 많은 시행횟수에 대해 확률분포는 Gaussian 형태를 띄게 됨
- $Y_N=X_1+X_2+...+X_N$ 의 N이 무한으로 갈 때 $f_{Y_N}$ 은 gaussian 형태
평균이 $μ\mu$ $μ$ , 분산이 $σ2\sigma^2$ $σ^{2}$ 인 n개의 iid(independent, identical) R.V.의 합을 $S_{n}$ 으로 정의할 때
- 평균 0, 분산 1(unit-variance)인 랜덤변수 $ZN=Sn−nμσnZ_N=\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$
- n이 무한으로 갈 때 $lim_{n\rarr\infty}P[Z_n\leq z]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^z_{-\infty}exp[-\frac{x^2}{2}]dx$
- $S_n$ 의 평균 $E[S_n]=E[X_1]+E[X_2]+...+E[X_n]=n\mu$
- $S_n$ 의 분산 $E[(Z_n-n\mu)^2]=n\sigma^2$

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4. Carrier Generation & Recombination

1. Recombination & Generation

캐리어가 과도하거나 부족한 상태를 평형 상태로 되돌리는 과정 $\\$
Generation : $0+E→e+h0+E\rarr e+h$
- thermal generation : $np<n_i^2$ 으로 캐리어가 부족 + 열 에너지에 의해 발생
- 빛 등 외부 에너지에 의해서도 발생
Recombination : $0+E←e+h0+E\larr e+h$
- $np>n_i^2$ 으로 캐리어가 과도해지면 발생

Equilibrium
- generation과 recombination이 같은 비율로 일어나 거시적으로 변화가 거의 없는 상태
- $np=n_i^2$
- 전류밀도 $J_N=J_P=0$ 인 상태
- 페르미 준위가 단일 값을 갖는 상태
Steady State
- 외부에서의 에너지 영향이 존재하나 시간에 따른 변화가 거의 없는 상태
- $np≠ni2np\not=n_i^2$
- 전류밀도는 0이 아닐 수 있음
Transient State
- Equilibrium / steady state 사이의 과도기
- n, p, 페르미 준위는 시간에 따라 변화
- 전류 밀도는 0일 수도, 아닐 수도 있음

2. Recombination - Generation Mechanism

Recombination $\\$
- band-to-band recombination
  - conduction band의 전자가 valance band의 정공과 만남
  - 에너지는 빛의 형태로 방출
- R-G center recombination
  - 불순물 등에 의해 forbidden band 내에 에너지 준위 형성
  - 이 준위에서 합쳐지거나, 이 준위를 타고 전자가 valance band로(or 정공이 conduction band로) 이동하여 합쳐지는 것으로 해석
  - 에너지는 열의 형태로 방출
- Auger Recombination
  - band-to-band recombination으로 인한 에너지가 방출되지 않고, 같은 밴드 내 다른 캐리어로 가해짐
  - Thermalization : 에너지를 받은 캐리어는 운동 에너지를 받아 높은 준위로 올라간 후, 서서히 자신의 에너지를 방출하여 원래 준위로 복귀

Generation $\\$
- Band-to-Band generation
  - 외부 에너지에 의해 전자가 valance band에서 conduction band로 올라가며 그 자리에 정공 생성
- R-G center generation
  - 불순물 등에 의한 forbidden band 내부 준위로 인해 valance band 내 전자가 더 쉽게 conduction band로 올라감
- impact ionization (avalanche mechanism)
  - 외부 전계에 의해 conduction band 내의 자유전자가 운동 에너지를 갖게 됨
  - 이 운동 에너지가 valance band 내 전자에 가해지면서 새로운 electron-hole pair 생성

Auger Process
- impact ionization by electron
  - 외부 전계에 의해 conduction band 내의 자유전자가 운동 에너지를 갖게 됨
  - 이 운동 에너지가 valance band 내의 다른 전자에 가해지면서 새로운 electron-hole pair 생성
  - Auger Recombination : conduction band의 전자가 recombination되며 생성된 에너지가 conduction band 내 다른 전자에 가해짐
    - $R_{aug}=C_1(n^2p-n_0p_0)$
- impact ionization by hole
  - valance band 내의 정공이 갖고 있던 운동에너지가 밴드 내 다른 전자에 가해지면서 pair 생성
  - Auger Recombination : recombination에 의해 방출되는 에너지가 hole의 운동에너지로 변환
    - $R_{aug}=C_2(n^2p-n_0p_0)$

Energy and Momentum Consideration
- 전자-정공의 생성-결합은 에너지, 운동량 보존법칙을 준수
- E-k diagram에서 E는 에너지, k는 운동량을 확인
- 생성-결합의 중요 입자
  - 광자(photon)
    - 큰 에너지( $E_{ph}=hv$ ), 작은 운동량 ( $p=h/λp=h/\lambda$ , $λ≃1μm\lambda\simeq1\mu m$ )
    - 에너지 보존 법칙에 영향
  - 포논(phonon)
    - 작은 에너지 (수십mV), 큰 운동량 ( $p=h/λp=h/\lambda$ , $λ≃1nm\lambda\simeq1nm$ )
    - 운동량 보존 법칙에 영향
  - 파동의 속도는 광자쪽이 훨씬 빠름 ( $≃c\simeq c$ )

Direct/Indirect semiconductor $\\$
- Direct Semiconudctor
  - E-k diagram에서 Conduction Band의 최저점과 Valance Band의 최고점이 나타나는 k값이 동일한 경우
  - electron-hole의 운동량이 0
  - recombination에 의한 에너지 방출 ( = 에너지 보존 법칙 ), 방출 에너지의 운동량이 0 ( = 운동량 보존의 법칙 )
- Indirect Semiconductor
  - E-k diagram에서 Conduction Band의 최저점과 Valance Band의 최고점이 나타나는 k값이 다름
  - phonon에 의해 k의 운동량을 갖고 광자 혹은 외부 에너지에 의해 전자-정공이 결합

Generation Center $\\$
- 반도체 내 도핑 혹은 결정 결함(defect) 에 의해 Conduction-Valance Band 내 에너지 준위를 형성
- R-G Center Recombination의 속도는 추가된 준위와 conduction-valance band 간 거리 중 먼 쪽에 의해 영향
- bandgap 사이를 이동하는 캐리어의 lifetime을 줄이기 위해 금속을 반도체에 도핑해줌
- DRAM같은 경우 오히려 전하가 오래 머무는 것이 중요하므로 defect를 줄이는 쪽으로 공정 진행

3. R-G Statics

캐리어 농도의 시간적 변화에 따른 생성-결합의 수학적 표현

Light Absorption
- 위치에 따라 빛의 에너지는 지수적으로 감소
  - $I(x)=I(0)exp[−αx]I(x)=I(0)exp[-\alpha x]$
- 빛의 파장(에너지)에 의해 빛의 흡수 계수 $α\alpha$ $α$ 가 결정
  - 짧은 파장 = 큰 에너지 = 큰 흡수계수

Indirect semiconductor의 경우 Generation-Recombination 과정이 valance band의 top에서 conduction band의 bottom으로 이동하는 과정이므로 에너지 뿐 아니라 phonon의 영향도 같이 받게 됨
이때 가해지는 에너지가 일정 이상이 되면, 굳이 conduction band의 bottom 지점이 아닌 k값이 일치하는 지점으로 이동이 가능해짐
이로 인해 phonon의 영향이 적어지고, 이 지점에서 흡수계수가 갑자기 커지게 됨(ex. Ge, InGaAs ...)

Band to Bnad generation
- Photon의 생성 개수 $Nph(x)=Nph(0)exp[−αx]N_{ph}(x)=N_{ph}(0)exp[-\alpha x]$
- Photon의 생성 속도 $dNph(x)dx=−α(λ)Nph(x)\frac{dN_{ph}(x)}{dx}=-\alpha(\lambda)N_{ph}(x)$
- 캐리어 generation 속도 = photon이 사라지는(에너지가 흡수되는) 속도
  - $GL(x,λ)=−dNph(x)dt=−dNph(x)dxdxdt−vgphNph(x)=vgphα(λ)Nph(x)=GL(0,λ)exp[−α(λ)x]G_L(x, \lambda)=-\frac{dN_{ph}(x)}{dt}=-\frac{dN_{ph}(x)}{dx}\frac{dx}{dt}-v_{gph}N_{ph}(x)\\=v_{gph}\alpha(\lambda)N_{ph}(x)=G_L(0,\lambda)exp[-\alpha(\lambda)x]$
  - alpha가 매우 작은 경우 : 생성 속도가 일정 ( $GL(x,λ)=GL(0,λG_L(x,\lambda)=G_L(0,\lambda$ )
  - alpha가 매우 큰 경우 : 특정 지점에서 순간적으로 pair 생성 $GL(x)=GL(0)δ(x)G_L(x)=G_L(0)\delta(x)$
- Free-Carrier Absorbtion : 에너지가 conduction band의 전자나 valance band의 정공에 가해져서 캐리어 생성 없이 운동 에너지만 증가시키는 현상

Trap Assisted R-G
- impurity에 의해 생성된 준위에 의한 생성-결합

용어 정의
- $n_0,\ p_0$ : equilibrium 상태의 전자/정공 농도
- $pn,\ p$ : 임의 상태에서의 전자/정공 농도
- $Δn≡n−n0\Delta n\equiv n-n_0$ : equilibrium 상태에서의 전자 농도 변화
- $Δp≡p−p0\Delta p\equiv p-p_0$ : equilibrium 상태에서의 정공 농도 변화
- $N_T$ : R-G Trap (impurity에 의해 생성된 준위)의 상태밀도

Low-level injection
- Perturbation : majority carrier는 거의 변하지 않고, minority carrier만 변화한다.
  - n-type에서 $n≃n0\Delta p<<n_0,\ n\simeq n_0$
  - p-type에서 $p≃p0\Delta n<<p_0,\ p\simeq p_0$

외부 에너지가 가해주는 순간 캐리어 농도에 변화가 발생 ( $Δp0\Delta p_0$ )
시간이 흐름에 따라 재결합에 의해 $Δp\Delta p$ 는 감소
충분한 시간이 흐르고 나면 평형 상태로 복귀 ( $Δp=0\Delta p=0$ )
ex) $n_i=10^{10}cm^{-3}$ , $N_D=10^{14}cm^{-3}\\$ perturbation에 의해 $Δp=Δn=109cm−3\Delta p=\Delta n=10^9cm^{-3}$
- $n=n0+Δn=1014+109≃1014≃n0n=n_0+\Delta n=10^{14}+10^9\simeq10^{14}\simeq n_0$
- $p=p0+Δp=106+109≃109≃Δpp=p_0+\Delta p=10^6+10^9\simeq10^9\simeq\Delta p$
시간에 따른 정공의 결합/생성 변화(n-type, indirect)
- $∂p∂t∣R=−cpNTp\frac{\partial p}{\partial t}|_R=-c_pN_Tp$ $\frac{\partial p}{\partial t} ∣_{R} = - c_{p} N_{T} p$
  - $N_T$ : Trap의 상태밀도
  - $p$ : 정공의 농도
  - $c_p$ : 비례상수
- $equilibrium=cpNTp0\frac{\partial p}{\partial t}|_G=-\frac{\partial p}{\partial t}|_{R,\ equilibrium}=c_pN_Tp_0$
- thermal R-G에 의해 정공의 시간에 따른 변화 $∂p∂t∣i−thermal−R−G=∂p∂t∣R−∂p∂t∣G=−cpNT(p−p0)=−cpNTΔp\\\frac{\partial p}{\partial t}|_{i-thermal-R-G}=\frac{\partial p}{\partial t}|_R-\frac{\partial p}{\partial t}|_G=-c_pN_T(p-p_0)\\=-c_pN_T\Delta p$
- p-type 반도체에서 thermal R-G에 의한 전자의 시간에 따른 변화 $∂n∂t∣i−thermal−R−G=−cnNTΔn\\\frac{\partial n}{\partial t}|_{i-thermal-R-G}=-c_nN_T\Delta n$

electron/hole lifetime
- thermal R-G에서 전자, 정공의 변화 속도
  - $∂p∂t∣i−thermal−R−G=−cpNTΔp=−Δpτp\frac{\partial p}{\partial t}|_{i-thermal-R-G}=-c_pN_T\Delta p=-\frac{\Delta p}{\tau_p}$
  - $∂n∂t∣i−thermal−R−G=−cnNTΔn=−Δnτn\frac{\partial n}{\partial t}|_{i-thermal-R-G}=-c_nN_T\Delta n=-\frac{\Delta n}{\tau_n}$
  - $τp=−(cpNT)−1\tau_p=-(c_pN_T)^{-1}$ : hole의 lifetime
- perturbation이 없는 일반적인 경우
  - $∂p∂t∣i−thermal−R−G=∂n∂t∣i−thermal−R−G=ni2−npτp(n+n1)+τn(p+p1)\frac{\partial p}{\partial t}|_{i-thermal-R-G}=\frac{\partial n}{\partial t}|_{i-thermal-R-G}=\frac{n_i^2-np}{\tau_p(n+n_1)+\tau_n(p+p_1)}$
  - $n1≡niexp[(ET−Ei)/kT]n_1\equiv n_iexp[(E_T-E_i)/kT]$
  - $p1≡niexp[(Ei−ET)/kT]p_1\equiv n_iexp[(E_i-E_T)/kT]$

Direct semiconductor의 경우
- $R = A (n - n_{0}) + B (n p - n_{i}^{2}) + C_{1} (n^{2} p - n_{0}^{2} p_{0}) + C_{2} (n p^{2} - n_{0} p_{0}^{2})$
  - $A$ : R-G center Recombination
  - $B$ : Band-to-Band Recombination
  - $C_1,\ C_2$ : Auger Recombination
  - 캐리어 농도에 따라 lifetime 변화
  - ex. silicon
    - $τn=(3.45×10−12NA+9.5×10−32NA2)−1\tau_n=(3.45\times10^{-12}N_A+9.5\times10^{-32}N_A^2)^{-1}$
    - $τp=(7.8×10−13ND+1.8×10−31ND2)−1\tau_p=(7.8\times10^{-13}N_D+1.8\times10^{-31}N_D^2)^{-1}$

4. Minority Carrier Lifetime & Measurement

외부 에너지에 의해 추가된 carrier는 지수적으로 감소
$Δn(t)=Δn(0)exp[−t/τn]\Delta n(t)=\Delta n(0)exp[-t/\tau_n]$
$ln[Δn(t)]=ln[Δn(0)]−t/τnln[\Delta n(t)]=ln[\Delta n(0)]-t/\tau_n$

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3. Diffusion

1. Diffusion

입자 농도(화학적 포텐셜)의 기울기(Gradient) $\\$ + 열에너지, Scattering에 의한 Random Motion에 의해 발생
- Random Motion : 고농도 / 저농도측 모두 입자가 랜덤한 양으로 이동 $\\$ 경계를 통과하는 입자수는 고농도측 입자가 더 많음 $\\$ 결과적으로 시간이 지나면 두 영역이 평형 상태가 됨
높은 농도에서 낮은 농도로 입자가 이동(재분배)
평형 상태가 될 때까지 이동
- 반도체의 경우 Charged Particle에 의해 Diffusion이 끝나도 같은 농도가 아닐 수 있음

2. Diffusion Current

Diffusion에 의한 입자 흐름
- $\mathcal{F}=-D\nabla\eta$
- diffusion flux = -(diffusion Coefficient)×Grad(Concentration)
- $\nabla\eta$ 가 ( - ) : diffusion은 농도가 감소하는 쪽으로 발생
전자 diffusion current density : $J_{Ndiff}=qD_N\nabla n$ $J_{N d i f f} = q D_{N} \nabla n$
- 전자 diffusion은 농도가 낮은 쪽으로 이동
- 전자와 전류의 방향은 반대이므로 $J_{Ndiff}$ 는 ( + )
정공 diffusion current density : $J_{Pdiff}=-qD_P\nabla p$ $J_{P d i f f} = - q D_{P} \nabla p$
- hole diffusion은 농도가 낮은 쪽으로 이동
- hole diffusion과 current 같은 방향이므로 $J_{Pdiff}$ 는 ( - )

Total Current = Drift + Diffusion
- hole : $J_P=J_{Pdrift}+J_{Pdiff}=qp\mu_pE-qD_P\nabla p$
- electron : $J_N=J_{Ndrift}+J_{Ndiff}=qn\mu_nE+qD_N\nabla n$
- $J=J_P+J_N$
Drift Current는 전기적 포텐셜에 영향을 많이 받아 Majority Carrier의 영향을 크게 받지만 $\\$ Diffusion Current는 농도차의 영향을 받으므로 Major 뿐 아니라 Minority Carrier의 영향 역시 유의미하게 존재한다.

Built-in Electric Field
- 캐리어 농도가 불균일한 상태로 평형 상태가 되도록 하는 힘
- $J_N=J_P=0$ 일 때 equilitbrium
- equilibrium일 때 전류밀도의 식을 이용하면
  - electric field $E=\frac{D_p\nabla p}{\mu_pp}=-\frac{D_n\nabla n}{\mu_nn}$
  - equilibrium 상태여도 농도차의 항 $\nabla n,\ \nabla p$ 는 존재
  - uniform doping 인 경우 $\nabla n=\nabla p=0$ , electric field=0
  - 불균일한 doping인 경우 $\nabla n,\ \nabla p\not =0\\$ 평형 상태에서 $J=0$ 이 되기 위해 built-in electric field가 존재하게 됨.

Hot Point Probe Measurement

온도가 높은 probe와 낮은 probe 사이에 전류계를 연결
hot probe 쪽의 입자가 더 활발하게 움직이는 점을 이용한 전류 측정
p-type 입자가 더 많은 경우 전류가 ( - ), n-type입자가 더 많은 경우 ( + )

3. Energy Band Diagram

가로축 : x 방향
원점의 valance band를 $E_{ref}$ 로 가정
reference energy를 기준으로
- electron potential energy : $E_C(x)-E_{ref}$
- hole potential energy : $E_{ref}-E_V(x)$
- conduction band 초과치 : electron kinetic energy
- valance band 초과치 : hole kinetic energy
- total energy = kinetic + potential

Electic potential $V_(x)=-\frac{1}{q}[E_C(x)-E_{ref}]$ $V_{(} x) = - \frac{1}{q} [E_{C} (x) - E_{r e f}]$
- $E_C$ 대신 $E_i,\ E_V$ 값이 들어갈 수 있음
- heavy doping이 아닌 이상 $E_C,\ E_i,\ E_V$ 는 parallel
- 이전 그림에서 $E_c(x)$ 는 x에 비례하여 감소하므로 전위는 증가
Electric Field $E(x)=-\nabla V(x)=\frac{1}{q}\nabla E_C(x)$ $E (x) = - \nabla V (x) = \frac{1}{q} \nabla E_{C} (x)$
- 전위가 중간에 증가하고 양 끝단에서는 일정 값을 유지하므로 중간 지점에서 강하게 나타남
Charge Density $\rho(x)=\nabla\cdot D(x)=\nabla\cdot[\epsilon E(x)]=-\epsilon\nabla^2V(x)$

Equilibrium
- 모든 순/역방향 캐리어 이동이 동등한 상태
- 물리적 관측량은 변화가 없음
- 일정한 fermi level : $\nabla E_F,dE_F(x)/dx=0$
- Net current가 0 : $J_P+J_N=0$
- Net carrier generation/recombination이 0 : $\\$ nondegenerate 반도체에서 $np=n_i^2$
- 불균일 도핑의 경우 diffusion에 의한 전류를 drift 전류가 상쇄한다(built-in electric field)

4. Band Bending

불균일한 도핑이나 applied electric field는 nonzero electric field, chage imbalance를 유발
nonzero electric field : potential 에너지의 기울기 존재, band banding 발생
- electron/hole drift 전류가 존재
- drift 전류 상쇄를 위한 diffusion current 존재
- the law of detailed balance : equilibrium 상태에서 $\\$ 총 electron/hole 전류는 0, 페르미 준위는 constant ( $np=n_i^2$ )
equilibrium = 페르미 준위가 상수이고, 하나의 값을 갖는 상태
- 상수 페르미 준위 = 전자/정공 전류는 0
- 단일 페르미 준위 = 캐리어 생성/결합 비율이 동일

non-uniformly doped semiconductor

이온화된 donor는 (+), 전자(n)은 (-) charge
- 가운데는 donor가 더 많아 전하밀도가 (+), 양 끝은 전자가 많아 (-)
- 전하밀도 $\rho$ 는 전계의 기울기이므로 기함수 형태의 전계 그래프가 형성

$E_F$ 는 상수이고, 양 끝단에서는 $E_F-E_i$ 가 작고 중앙에서는 커지는 모양을 형성하여야 함
$np=n_i^2$ 의 식을 만족하기 위해 $E_c, E_i$ 도 같은 모양을 형성

5. Einstein Relationship

Constancy of Fermi level in Equilibrium
- 임의 지점 1, 2에서의 fermi level을 $E_{F1},\ E_{F2}$ 로 가정
- 이 지점에서의 온도를 $T_1, T_2$ 로 가정
- 입자의 이동 비율 $r_{12}=R_0f(E_1)[1-f(E_2)]$ $r_{12} = R_{0} f (E_{1}) [1 - f (E_{2})]$ , $r_{21}=R_0f(E_2)[1-f(E_1)]$ $r_{21} = R_{0} f (E_{2}) [1 - f (E_{1})]$
  - equilibrium일 때 $r_{12}=r_{21},\ f(E_1)=f(E_2)$
- 모든 E에 대해 $E_{F1}=E_{F2},\ T_1=T_2$
- 즉, $\nabla E_F=0$
Detailed Balance
- equilibrium 상태에서 $J_N=J_P=0,\ J=J_N+J_P=0$

Einsetin Relationship

diffusion current는 donor 농도가 높아지는 쪽으로 이동
drift current는 Energy Band level이 높아지는 쪽으로 이동
equilibrium 상태에서 $J_{Ndrift}+J_{Ndiff}=qn\mu_nE+qD_N\frac{dn}{dx}=0$ $J_{N d r i f t} + J_{N d i f f} = q n μ_{n} E + q D_{N} \frac{d n}{d x} = 0$
- $E=\frac{1}{q}\nabla E_i(x)$ (electric field = intrinsic band level의 미분값)
- $n=n_iexp[(E_F-E_i)/kT]$
- $dn/dx=-\frac{n}{kT}[\frac{dE_F}{dx}-\frac{dE_ i}{dx}]$
- $dE_F/dx=0$ 이므로 $dn/dx=-\frac{q}{kT}nE$
- $\therefore J_N=qnE(\mu_n-\frac{qD_N}{kT})$
전자의 einstein relationship : $\frac{D_N}{mu_n}=\frac{kT}{q}$
정공의 einstein relationship : $\frac{D_P}{\mu_p}=\frac{kT}{q}$
einsteint relationship : 물질 간의 관계 - equilibrium 여부와는 무관
diffusion coefficient(by diffusion)와 mobility(by drift) 둘 다 scattering에 영향을 받기 때문에, 비례관계를 갖게 된다.

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Bistable Elements

Sequential Logic : 현재 출력이 과거 출력에 영향을 받음
$O_{combinational} = f(input)$
$O_{sequential} = f(input, O_{present})$

Bistable Elements

clock signal
- 전압이 공급되면 디지털 회로는 클락에 따라 움직임
- high-low 시간을 합쳐 주기 period라고 함.
- 주파수 = 1 / 주기
- duty cycle = high / period (invert clock의 경우 low/period)

Latch : 입력이 바뀌면 출력도 바뀜
Flip-Flop : 클록이 바뀔 때 출력이 바뀜

Flip Flop

이하 모든 Flipflop 해석은 Clock Rising edge일 때 신호를 읽는 것으로 가정

D flip-flop
- (a) D flip-flop 내부 구조 : 2개 latch를 조합하여 사용
- (b) truth table : D 신호에 따라 다음 신호를 결정, 그 외에는 현재 상태를 유지
- (c) D flip-flop 회로 기호

$t_{pLH} / t_{pHL}$
- 신호가 low > high / high > low로 바뀌는 시간
$t_{hold} / t_{setup}$
- 클록이 바뀌기 후/전에 신호가 유지되어야 하는 시간
- 이 시간 범위 내에 신호가 바뀌면 출력 신호가 불안정하게 된다.
setup/hold time을 이용하여 D flip-flop의 최소 클록을 구할 수 있다.
D flip flop with PR and CLR
- Clock과 무관하게 PR(preset) 입력 시 on
- CLR(clear) 입력 시 off
D flip flop with enable : enable이 입력될 때만 flip flop이 동작, 이외에는 이전 신호를 그대로 유지

S-R Flip Flop
- S(set)=1 : Q = 1
- R(Reset)=1 : Q=0
- S, R이 모두 0 : 이전 신호 유지
- S, R이 모두 1 : not allowed(신호 불안정)
- scan flip-flop
  - 데이터 입력 외에 test용 enable, input이 별도로 존재
  - test enable이 high가 되면 data 대신 test input의 데이터가 입력으로 들어간다.

J-K flip flop
- S-R flip flop에서의 단점을 보완
- J가 Set, K가 reset 역할
- J,K가 모두 high가 되면 출력을 반전

T(toggle) flip-flop
- T에 on 입력 시 출력이 반전
- T off일때는 출력 유지
- J-K flip flop의 J, K단자를 연결한 것과 같은 동작

Clocked Synchronous State-Machine Analysis and Design

state machine = sequential circuit(순차회로)
clocked : flip-flop에서 클록 입력
synchronous : 클록이 변화할 때 상태가 변화 / 모든 flip-flop은 같은 clock signal에 따라 변화

Mealy machine
- F(combinational logic)로 n개의 flip-flop으로 구성된 상태 메모리의 입력을 정의
- F(next-state-logic)과 G(output logic)는 현재 상태와 입력의 조합으로 구성

Moore machine
- Mealy와 다르게 출력은 현재 상태만으로 구성
- next-state는 현재 상태와 입력의 조합으로 구성

Characteristic Eq.
- 입력과 현재 상태 Q(t)로 직후의 상태 $Q(t+\epsilon)$ 를 표현하는 논리식
- ex. S-R FF
- 위 식을 단순화하면 Q*=S + R`Q의 식으로 나타난다.
Transition Eq.
- Excitation Eq. : 입력 단자의 논리식
- Characteristic Eq. : state memory의 다음 상태를 정의
- Transition Eq. : excitation eq.를 이용하여 다음 상태를 정의
- output Eq. : 시스템의 출력

state machine
- 상태표를 그림의 형태로 표현
- mealy machine
  - 다음 상태와 출력이 현재 상태와 입력의 조합으로 구성
  - circle에는 현재 상태, 화살표는 입력의 변화를 표시
  - 입력이 변화할 때 출력과 상태가 모두 변하므로, 화살표에 입/출력을 모두 표기한다.
- moore machine
  - 출력은 현재 상태로, 다음 상태는 입력과 현재 상태의 조합으로 구성
  - circle 안에 출력이 표시되며, 화살표에는 입력의 변화만 나타난다.

Clocked synchronous state-machine design

Design example
- 입력 A, B, 출력 Z를 갖는클록 동기화 machine를 설계
- 다음의 경우 Z=1:
  - A가 2개 tick동안 같은 값을 유지하는 경우
  - 위 조건을 만족한 이후 B가 1을 유지하는 경우
- 그 외 Z=0
- 위 조건을 기준으로 하는 state table 작성
  - INIT : 초기 상태
  - A0(A1) : 이전에 0(1)이 입력된 경우
  - OK0(OK1) : 이전에 0(1)이 두번 입력된 경우
- State Assignment
  - 1-bit = 1-flip flop
  - 상태의 개수 = m이라고 할 때 최소 flip flop # = $\lceil log_2m\rceil$
  - 주어지는 조건의 영향을 많이 받게 됨
    - D-flipflop을 쓸 것인지/J-K flipflop을 쓸 것인지
    - SOP/POS 표현 중 어떻게 나타낼 것인지

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전자공학[마감]

6. Hall Effect, Quasi Fermi Level

Hall Effect

Quasi-Fermi Level

Pulse Doping

5. Equation of State

Equations of state

Minority Carrier Diffusion Equation

Solutions of Minority Carrier Diffusion Equation

1. Expected Value of R.V function

결합 Moment

결합 Central Moment

2. Joint Characteristic Function

3. Joint Gaussian Random Variable

4. Transformation of Multiple Random Variables

5. Estimation

Estimation of Mean

Estimation of Variance

Law of large numbers

Entropy

Rating Problem

Entropy

1. Random Vector

2. Joint Distribution

Joint CDF Property

3. Joint Density

4. Conditional Distribution

Bayes' Theorem

5. Sum of Independent R.V.

7. Central Limit Theorem

4. Carrier Generation & Recombination

1. Recombination & Generation

2. Recombination - Generation Mechanism

3. R-G Statics

4. Minority Carrier Lifetime & Measurement

3. Diffusion

1. Diffusion

2. Diffusion Current

3. Energy Band Diagram

4. Band Bending

5. Einstein Relationship

Bistable Elements

Flip Flop

Clocked Synchronous State-Machine Analysis and Design

Clocked synchronous state-machine design

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