Metal-Semiconductor Junctions

Metal-Semiconductor Junction

• Anderson Model
  

  

  • 반도체의 Conduction Band와, 금속의 페르미 준위 $E_{FM}$ 사이의 차이는 접합 이후에도 일정하게 유지
  • 금속-반도체 접합 시, 금속의 페르미 준위가 반도체보다 낮으므로 반도체 측 전자는 금속 쪽으로 이동
  • 접합 근처의 Donor가 이온화되면서 Depletion Region 형성
    

    

    • 금속 쪽의 Depletion Region은 매우 얇아서 $\delta(x)$함수의 형태로 형성

• 금속과 반도체의 Work function $\Psi_M,\ \Psi_S$의 차이가 접합 이후의 Band Diagram 결정
  

  

  • $\Psi_M=\Psi_S$ : Step 형태로 Band 형성
  • $\Psi_M>\Psi_S$ : 반도체 측 전자 이동으로 인해 반도체 Conduction Bands가 감소하는 형태로 Band Bending
    • 금속 측에 +, 반도체 측에 -를 걸어주면 potential barrier가 낮아지면서 전류가 잘 통하는 상태가 되어, Rectifier Junction 상태가 됨
  • $\Psi_M>\Psi_S$ : 금속의 전자가 반도체 측으로 이동하면서 Conduction Band가 증가하는 형태로 Band Bending
    • Band Bending에 의해 전자가 이동하기 쉬운 형태가 되었으므로, 이 상태를 Ohmic Contact라고 함

• Work Function $q\Psi$ = 진공 준위 - 금속(반도체)의 페르미 준위
• Electron Affinity $q\chi$ = 진공 준위 - 반도체 전도대 준위
• Anderson Model (electron affinity model) : 전자 친화도 차이 - $q\Psi_M-q\chi$는 일정
• 전자는 페르미 준위가 높은 쪽 > 낮은 쪽으로 이동
  • 금속 측의 페르미 준위가 낮은 경우 : Schottky Contact - 정방향 전압일 때만 전류가 흐름
  • 반도체 측의 페르미 준위가 낮은 경우 : Ohmic Contact - 전류가 전압 방향과 무관하게 흐름
• p-type 반도체에서는 반대로 형성
  • $\Psi_M>\Psi_S$일 때 가전대 Hole이 이동하여 Rectifier Junction 형성
  • $\Psi_M<\Psi_S$일 때 금속 hole이 가전대로 이동하여 Ohmic Contact 형성

• Interface Charge model
  

  

  • 실제로 Anderson Model에 기반하여 접합 설계 시 오차 존재
  • 반도체-금속 접점에서 델타함수 형태로 전하량의 차이가 존재한다고 가정 : Interface Dipole Charge
  • n-type 기준 금속 측에 +, 반도체 측에 - charge 존재
  • dipole charge - impulse field - step potential
  • 물질마다 오차가 각각 달라 실제 설계 적용에 문제 존재

• Silicide
  • 실리콘에 몰리브덴을 열처리하여 생성한 물질
  • 물리/화학적 특성은 실리콘, 전기적 특성은 몰리브덴과 유사하게 반응
  • Anderson Model의 문제점인 표면에서의 오차 문제를 어느 정도 완화되었으나, 오차는 여전히 존재

• Schottky Contact의 Barrier 높이 측정
  

  

  • C-V Measure Technique 사용
  • $W_{dep}=\sqrt{\frac{2\epsilon(\phi_{BI}-V_A)}{qN_D}}$
  • $C_{dep}=\frac{\epsilon A}{W_{dep}}$이므로
    $[\frac{A}{C_{dep}}]^2=\frac{2}{\epsilon qN_D}(\phi_{BI}-V_A)$
  • $\phi_{bn}=\phi_{bi}-\frac{E_C-E_F}{q}=\phi_{bi}+V_Tln(\frac{N_C}{N_D})$

• Anderson Model의 문제 해결을 위한 최근 근황
  

  

  
  

  

  • Band 차이에 접합하는 두 물질 간의 평균 Potential 차이 역시 반영

Schottky Diode I-V Characteristics

• Schottky Contact에서 캐리어가 이동하는 방식

  • Field Emission : 터널링 효과에 의한 이동
  • Thermonic Field Emission : 열에너지로 인해 Potential 상승 후 터널링
  • Thermonic Emission : Potential Barrier 이상의 열에너지를 받아 이동
  • Diffusion-Drift
    • Majority Carrier : Potential Barrier를 넘어간 캐리어의 전류 형성
    • Minority Carrier : injection에 의한 전류 형성

• Majority Carrier Movement

  • Zero Bias
    • Metal과 Semiconductor 사이를 흐르는 전류가 동일
  • Reverse Bias
    • $qV_A$만큼의 Potential Barrier 형성
    • Semiconductor > Metal로 흐르는 전류가 감소, 제한된 작은 전류만 흐름
  • Forward Bias : Potential Barrier가 낮아져 Semiconductor > Metal 방향으로 전류가 크게 흐름

• Minority Carrier Movement

  • Reverse Bias : Semiconductor > Metal 방향으로의 Diffusion-Drift 증가
  • Forward Bias : Metal > Semiconductor 방향으로 캐리어 이동이 증가하나, 전류 영향은 거의 없음

Ohmic Contact

• Ideal Ohmic Contact I-V : $R_C=dV/dI(\Omega\cdot cm^2)$
  

  

• 실제 Ohmic Contact : 전류가 많이 흐르면 저항값이 감소, 적게 흐를수록 증가
• Ohmic Contact의 형성
  • Tunneling Ohmic Contact : Metal 준위를 높게 설정, Rectifying Contact에서 도핑 농도를 증가시켜 터널링 유도
  • Ohmic Contact : Metal보다 Semiconductor 준위를 낮게 설정

• Tunneling Ohmic Contact
  • $R_C\equiv[\frac{dJ}{dV}]^{-1}=\frac{kC}{qAT}exp[\frac{q\phi_b}{E_0}]$
  • $E_0\propto\sqrt{N},\ \frac{1}{\sqrt{m_t^*}},\ R_C\propto q\phi_b$ : Barrier, 도핑 농도, 유효질량에 의해 저항 결정

Switching of pn Diodes

• Swiching : 다이오드에 인가되는 전압이 정/역방향으로 바뀔 때 전류가 통하거나, 그렇지 않은 상태가 되어 스위치처럼 동작
  • Depletion width, minority carrier 농도 변화
  • turn-off transient
    • forward > reverse 상태로 변화하는 과정
    • switching speed의 결정 요인
  • turn-on transient
    • zero(reverse) > forward 상태로 변화하는 과정
    • turn-off transient보다 빠르게 동작

Turn-off Transient

• turn on : Forward Voltage 인가, $I=I_F=\frac{V_F-V_{D, on}}{R}$
• turn off
  • Reverse Voltage 인가 : $I_F=-I_R=\frac{V_{D, on}-V_R}{R}\ (0<t<t_s)$
    

    

    • Storage Delay time $t_s$ : 다이오드에 인가되었던 $V_{D, on}$전압이 감소하여 ( - )가 될때까지의 시간, 역방향 전류가 일정한 값을 유지하는 시간
  • turn off transient : 역방향 전류 크기가 감소
    • Reverse Recovery Time $t_{rr}$ : 역방향 전류 $-I_R$의 10%까지 감소하는데 걸리는 시간
    • Recovery time $t_r=t_{rr}-t_s$

• switching delay의 원인 : minority carrier 농도가 turn on 상태에서 turn off상태로 변화하기까지의 시간 지연
• Storage Delay time : turn-off 상태로 변화하면, minority carrier인 p-type 내 전자, n-type 내 정공이 빠져나가는 데 걸리는 시간
• minority carrier의 감소 원리 : reverse, recombination
  • reverse current : 매우 빠르게 동작하지만, $V_R/R_R$로 전류가 제한
  • recombination current : 완료되는데 lifetime $\tau$만큼의 시간 소모

• $x=0$부터 변곡점까지의 기울기 = $-I_R$
  • Storage Delay time 동안에는 Forward Bias와 같이 일정한 전류를 유지하면서 동작
  • minority carrier 농도는 계속해서 감소
• Storage Delay time은 Forward Bias, Reverse Bias 전류의 크기가 클수록 짧아지며, carrier lifetime이 짧을수록 짧아진다.

• Storage Delay Time $t_s$
  • $\frac{dQ_p}{dt}=i-\frac{Q_p}{\tau_p}$
  • Storage Delay Time 동안, $\frac{dQ_p}{dt}=-I_R-\frac{Q_p}{\tau_p}$
    $\rarr\frac{dQ_p}{I_R\tau_p+Q_p}=-\frac{dt}{\tau_p}$
  • (양변 적분) $ln[Q_p+I_R\tau_p]|^{t_s}_{0}=-\frac{t_s}{\tau_p}$
    $\rarr t_s=\tau_p ln[\frac{Q_P(0)+I_R\tau_p}{Q_p(t_s)+I_R\tau_p}]$
  • $Q_p(0)=I_F\tau$
  • $Q_p(t_s)=0$으로 가정 시, $t_s=\tau_p ln[1+\frac{I_F}{I_R}]$
    • $t_s\propto \tau_p,\ I_F,\ \frac{1}{I_S}$
    • exact equation : $t_s=\tau_p [erf^{-1}[\frac{1}{1+I_F/I_R}]^2]$

• 이상적인 다이오드 : Reverse Bias 즉시 전류 차단
• 우수한 다이오드 : step recovery ($t_s$ 이후 즉시 차단)
• Fast Recovery Diode
  • Au 도핑 : 에너지 밴드에 Trap 준위 추가 - 캐리어 recombination 증가, lifetime 감소
    • 단점 : reverse current 감소
  • short-base diode : Base가 짧아 p-n간 캐리어 이동이 매우 빠름
  • schottky diode : minority carrier effect가 없음 ($t_s$가 거의 없음)

Turn-on Transient

• reverse > forward bias
• 다이오드 양단 전압 : $V_{off}\rarr0\rarr V_{on}$
  • off에서 0으로는 거의 즉시 상승
  • on으로 상승하는데 지연 존재
• $Q_p(t=0)=0$, $V_a(t=0)=0$
  • $\frac{dQ_p}{dt}=I_F-\frac{Q_p}{\tau_p}$
    $\rarr\frac{dQ_p}{I_F\tau_p-Q_p}=\frac{dt}{\tau_p}$
  • (양변 적분) $-ln[I_F\tau_p-Q_p]|^{t}_{0}=\frac{t}{\tau_p}$
    $\therefore Q_p(t)=I_F\tau_p[1-e^{-t/\tau_p}]$
• $Q_p(t)=I_0\tau_p[e^{V_a(t)/V_T}-1]$에서
  • $V_a(t)=V_Tln[1+\frac{Q_p(t)}{I_0\tau_p}]=V_Tln[1+\frac{I_F(1-e^{-t/\tau_p})}{I_0}]$
  • $I_0$ : 다이오드 reverse saturation current

• $I_F,\ \tau_p$가 증가하면 transient 시간 증가
• 초반에 전압 대부분이 증가하고, 나머지 시간동안 전압이 느리게 증가

2. pn Admittance - Forward Bias

1. Forward-Bias Admittance

• $C=C_J+C_D$ : Depletion Capacitance + Diffusion Capacitance
  • $C_J$ : Depletion Width가 감소하면 $C_J$는 증가

• Forward Bias
  • Forward Bias가 인가되면 Minority Carrier 증가 : Minority Carrier의 응답은 Majority만큼 빠르지 않기 때문에, 전압 인가에 따른 위상차 존재
  • Forward Bias 인가 시 Minority Carrier에 의한 커패시턴스 성분 생성 (Diffusion Capacitance)
  • 위상차 성분 일부는 Conductance에 영향
  • $i(t)=(G+wC^{out})v_0coswt-wC^{in}v_0sinwt$

• $p^+n$ (p농도 > n농도) 접합의 경우
  • 고주파 Bias 인가 시 도핑 농도가 Bias를 중심으로 진동하는(위상차가 나타나는) 형태로 나타나게 됨

2. Admittance Relationships

• small signal에 의한 Diffusion Equation
  • $\frac{\partial\Delta p_n(x,t)}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n(x,t)}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n(x,t)}{\tau_p}$
• $\Delta p_n(x,t)=\overline{\Delta p_n(x)}+\tilde{p_n}(x,w)e^{jwt}$ 가정
  • $\overline{\Delta p_n(x)}$ : 도핑 농도 Bias
  • $\tilde{p_n}(x,w)e^{jwt}$ : AC 전압에 의한 진폭

• 가정한 해를 대입

  • $\frac{\partial\Delta p_n(x,t)}{\partial t}=jw\tilde{p_n}(x,w)e^{jwt}$
    $=D_P\frac{d^2\overline{\Delta p_n(x)}}{d x^2}+D_P\frac{d^2 \tilde{p_n}(x,w)e^{jwt}}{d x^2}-\frac{\overline{\Delta p_n(x)}}{\tau_p}-\frac{\tilde{p_n}(x,w)e^{jwt}}{\tau_p}$

  • DC : $D_P\frac{d^2\overline{\Delta p_n(x)}}{d x^2}-\frac{\overline{\Delta p_n(x)}}{\tau_p}=0$

  • AC : $jw\tilde{p_n}(x,w) = D_P\frac{d^2 \tilde{p_n}(x,w)}{d x^2}-\frac{\tilde{p_n}(x,w)}{\tau_p}$
    $\rarr D_P\frac{d^2 \tilde{p_n}(x,w)}{d x^2}-(jw+\frac{1}{\tau_p})\tilde{p_n}(x,w)=0$

    • $D_P\frac{d^2 \tilde{p_n}(x,w)}{d x^2}-\frac{\tilde{p_n}(x,w)}{\tau_p/(1+jw\tau_p)}$

• Boundary Condition
  • $\Delta p_n(x=\infty)=0$
  • $\Delta p_n(x=x_n)$ : Depletion Edge
    $=p_{n0}[e^{(V_A+v_a)/V_T}-1]\simeq p_{n0}[e^{V_A/V_T}(1+\frac{v_a}{V_T})-1]$
    $=\overline{\Delta p_n}(x=x_n)+\tilde{p_n}(x=x_n,w)$
  • $\overline{\Delta p_n}(x=x_n)=p_{n0}[e^{V_A/V_T}-1]\simeq\frac{n_i^2}{N_D}[e^{V_A/V_T}-1]$
  • $\tilde{p_n}(x=x_n,w)\simeq\frac{n_i^2}{N_D}e^{V_A/V_T}\frac{v_a(w)}{V_T}$

• Solution : Diffusion Current
  • DC : $\overline{\Delta p_n}(x)=p_{n0}[e^{V_A/V_T}-1]e^{-x/\sqrt{(D_P\tau_P)}}$
    • $I_{diff}=\frac{qAD_P}{L_P}p_{n0}[e^{V_A/V_T}-1]$
      $=qA\sqrt{\frac{D_P}{\tau_P}}p_{n0}[e^{V_A/V_T}-1]=I_0[e^{V_A/V_T}-1]$
  • AC : $\tilde{p_n}(x=x_n,w)=p_{n0}e^{V_A/V_T}\frac{v_a(w)}{V_T}e^{-x/\sqrt{D_P\tau_P/(1+jw\tau_p)}}$
    • $I_{diff}(w)=qA\sqrt{\frac{D_P(1+jw\tau_P)}{\tau_P}}p_{n0}e^{V_A/V_T}[V_a(w)/V_T]$
      $=I_0\sqrt{1+jw\tau_p}e^{V_A/V_T}\frac{V_A(w)}{V_T}$
      $=G_0\sqrt{1+jw\tau_p}V_A(w)$
    • $G_0=\frac{I_0}{V_T}e^{V_A/V_T}$

3. Forward-Bias Diffusion Admittance

• Small-signal Conducance : $Y_D=G_0\sqrt{1+jw\tau_p}$
  • $\sqrt{1+jw\tau_p}=x+jy$일 때,
    $x^2-y^2=1,\ 2xy=w\tau_p$
  • $x=[\frac{1+\sqrt{1+w^2\tau_p^2}}{2}]^{1/2},\ y=[\frac{\sqrt{1+w^2\tau_p^2}-1}{2}]^{1/2}$
• Diffusion Admittance : $Y_D=G_D+jwC_D$
  • $G_D=G_0[\frac{1+\sqrt{1+w^2\tau_p^2}}{2}]^{1/2}=\frac{G_0}{\sqrt{2}}[1+\sqrt{1+w^2\tau_p^2}]^{1/2}$
  • $C_D=\frac{C_0}{w}[\frac{\sqrt{w^2\tau_p^2-1}}{2}]^{1/2}=\frac{G_0}{\sqrt{2}w}[\sqrt{1+w^2\tau_p^2}-1]^{1/2}$

• 주파수가 일정 이하 ($w\tau_p<1$)일 때는 G, C가 일정하지만, 증가함에 따라 Diffusion에 의한 G는 증가, C는 감소

1. pn Admittance - Reverse Bias

1. Small-Signal

• p-n I-V 특성 : small-signal 분석 시 곡선 형태의 I-V특성은 거의 선형으로(= 저항처럼) 해석 가능
• 컨덕턴스 $g=i_d/v_d$

• p-n 다이오드의 내부 어드미턴스 : $Y=G+jwC$, $C=C_D+C_J$
• 컨덕턴스 $G=dI/dV=I_0exp[V/nV_T]/nV_T$
  • 역전압 인가 시 G는 0에 가깝게 감소
• 커패시턴스 $C=dQ/dV=C_J+C_D$
  • $C_D$ : Diffusion Capacitance
  • $C_J$ : Depletion Capacitance
• small signal $v_a(t)=v_0coswt$에 의한 다이오드 전류
  • $i(t)=Re[(G+jwC)v_0e^{jwt}]$
    $=Gv_0coswt-wCv_0sinwt$

2. Reverse-Bias Junction Capacitance

• Reverse Bias : Depletion Layer의 폭이 증가
  • 전압에 따라 변화하므로 $dQ/dV$ 변화 : 커패시턴스 형성
  • Quasi-Static approximation : 고주파 신호 인가 시 DC 신호를 가했을 때와 거의 유사한 Depletion Layer 형성
• Depletion-layer capacitance
  • Depletion Layer의 폭 변화를 전하량 변화로 고려
  • $C_J=dQ/dV=\frac{\epsilon_0\epsilon_rA}{W}$

3. C−V Relationships

• one-sided junction : p-n 비대칭 접합의 경우
  

  

  • 농도가 낮은 쪽 도핑은 $N_B=ax^m$ 그래프로 표현
  • 비대칭 step junction(m=0) : $W=[\frac{2\epsilon}{qN_B}(V_{BI}-V_A)]^{1/2}$
  • Linearly Graded junction(m=1) : $W=[\frac{12\epsilon}{qa}(V_{BI}-V_A)]^{1/3}$
  • $N_B=ax^m(m>-2)$ : $W=[\frac{(m+2))\epsilon}{qa}(V_{BI}-V_A)]^{1/(m+2)}$
• Depletion Capacitance : $C_J=\frac{\epsilon A}{W}=\frac{\epsilon A}{[\frac{(m+2))\epsilon}{qa}(V_{BI}-V_A)]^{1/(m+2)}}$
  • $C_J=\frac{C_{J0}}{[1-V_A/V_{BI}]^{1/(m+2)}}$
  • $C_{J0}$ : Bias ($V_A$)가 없을 때의 Depletion Capacitance
• Hyper abrupt junction ($m<0$)을 생성하는 이유
  • 커패시턴스 형성을 위해서는 Depletion Width 변화가 전압에 민감하게 변화해야 함
  • 도핑이 낮을수록 Depletion이 더 잘 형성
  • 접합에서 멀어질 수록 Depletion이 형성되기 어려움
  • 접합 근처에서는 도핑 농도가 높고, 멀어질수록 낮은 도핑 농도를 형성하기 위해 Hyper abrupt junction 형성, 더 정밀한 Capacitance 조절 가능

• Varator : 변화 가능한 리액터 혹은 커패시터
• $C_J=\frac{C_{J0}}{[1-V_A/V_{BI}]^{1/(m+2)}}$
• Tuning Range : 가해주는 전압에 따른 커패시터의 변화율
  • $V_{A1}\sim V_{A2}$ 범위로 변화 가능할 때
  • $TR=\frac{C_JV_{A1}}{C_JV_{A2}}=[\frac{V_{A1}}{V_{A2}}]^{1/(m+2)}$
  • TR값을 키우려면 m값이 감소하여야 함

4. C−V Characterization

• Doping Profile, Built-in Potential 측정
  • $C_J=\frac{A}{[\frac{2}{q\epsilon N_B}(V_{BI}-V_A)]^{1/2}}$에서
  • $\frac{1}{C_J^2}=\frac{2}{qA^2\epsilon N_B}(V_{BI}-V_A)$
  • C-V 기울기 : 도핑 농도 $N_B$, V축 교차점 : Built-in Potential
• 실제 다이오드에서 $C=C_J+C_P$이므로, $(C-C_P)^{-2}-V_A$그래프를 작성
  • 그래프가 선형으로 나타나는 $C_P$값을 찾아내어 그래프 작성
• Doping Profile : $N_B(x)=\frac{2}{q\epsilon A^2}[\frac{d}{dV_A}\frac{1}{C_J^2}]^{-1}$
  • Depletion Region의 형성이 제한되므로, 실제 C-V 측정 시에는 도핑된 소자를 etching하면서 C-V특성 측정
  • 농도가 급격하게 변화하는 경우 측정이 부정확할 수 있음
  • 미분연산으로 도핑을 계산하므로 노이즈에 민감

5. Reverse-Bias Conductance

• 이상적인 다이오드의 경우 (diffusion)
  • $G_0 = \frac{dI}{dV_A}=\frac{d}{dV_A}[I_0(e^{V_A/V_T}-1)]=\frac{1}{V_T}I_0e^{V_A/V_T}$
  • $V_A$가 Reverse Bias인 경우 exponential항에 의해 G는 0으로 수렴
• 실제 다이오드의 경우 (generation current)
  • $G_0 = \frac{d}{dV_A}[-\frac{qAn_i}{2\tau_0}W]=\frac{qAn_i/2\tau_0}{(m+2)(V_{BI}-V_A)}$
• Reverse-Bias Admittance
  • $Y=G_0+jwC_J$
    $=G_0(diff)+G_0(generation)+jwC_J$
    $\simeq jwC_J$
  • conductance보다 capacitance 영향이 주도적
• Forward Bias가 가해지면 Depletion capacitance 대비 Diffusion Capacitance 영향이 커지면서 계산값과 오차 발생

4. Special Considerations

1. Charge-Control Approach

• long-base 다이오드 : $J_P(\infty)=0$
  • n-region hole charge $Q_P=qA\int_0^\infty \Delta p_n(x,t)dx$
  • $\frac{dQ_p}{dt}=i_{diff}(0)-\frac{Q_P}{\tau_p}$
  • 전하의 변화율 = 초기 diffusion - recombination으로 사라지는 전하량
• steady state에서 $I_{diff}=\frac{Q_P}{\tau_P}=\frac{qAL_Pn_i^2}{\tau_PN_D}[e^{V_A/V_T}-1]$
  $=\frac{qAD_Pn_i^2}{L_PN_D}[e^{V_A/V_T}-1](\because L_P^2=D_P\tau_P)$
  • short-base 다이오드 : $\frac{dQ_p}{dt}=A[i_{diff}(0)-i_{diff}(x_c)]-\frac{Q_P}{\tau_p}$
  • long-base 대비 흐르는 전류양이 늘어남

2. Narrow Base Diode

• 낮은 농도로 도핑된 영역이 minority carrier diffusion length보다 짧은 다이오드
  
  • $\Delta p_n(x_c)=0$
  • $\Delta p_n(0)=p_{n0}[e^{qV_A/kT}-1]\simeq\frac{n_i^2}{N_D}[e^{qV_A/kT}-1]$
  • $\Delta p_n(x)=A_1exp[-x/L_P]+A_2exp[x/L_P]$
  • By boundary condition,
    $\Delta p_n(x_c)=p_{n0}[e^{V_A/V_T}-1]\frac{sinh[x_c-x/L_P]}{sinh[x_c/L_P]}$
  • narrow base($x_c<<L_P$)일 때는 recombination 발생이 없음 : $\frac{\Delta p_n}{\tau_P}$
• $I_{Diff}=AJ_P(0)=I_0[e^{V_A/V_T}-1]$
  • $I_0=\frac{qAD_Pp_{n0}}{L_P}p_{n0}\frac{cosh(x_c/L_P)}{sinh(x_c/L_P)}$

• Punch-through
  • narrow base diode의 base부분이 전체적으로 depletion region이 되는 현상

3. Derivations from Characteristics

1. Overview

• 다이오드 I-V 특성
  • Reverse Bias : 전류가 거의 흐르지 않음
  • Forward Bias : 전압에 따라 거의 수직으로 증가 (저항에 의한 동작)
  • Reverse Breakdown : 매우 큰 역전압을 가해주면 다이오드 특성이 파괴됨

• forward I-V characteristics(log scale)
  

  

  • 약 0.3V 미만에서 q/2kT의 기울기로 증가하다가, 그 이상부터 q/kT로 빠르게 증가
  • 약 0.7V부터 저항 특성에 의해 exponential 특성을 벗어나서 linear하게 증가
• Reverse I-V characteristics(linear scale)
  

  

  • 이론상 reverse current $I_0\simeq10^{-14}A$지만, 실제로는 그보다 훨씬 크고(100pA단위), 또한 포화되지도 않는다
  • 매우 큰 역전압에 의해 breakdown이 발생하면 역방향으로 전류가 흐르게 된다.

2. Reverse Breakdown

• Breakdown Voltage는 도핑 농도가 낮을수록 높아짐
• Breakdown Voltage는 반도체 물질의 Bandgap이 넓어질수록 높아짐
• Avalanche Breakdown
  

  

  • Reverse Bias에 의한 electric field가 critical값보다 커지면 Carrier Multiplication 발생
  • Carrier Multiplication : 기울어진 Band에서 전자가 방출하는 에너지가 매우 커지면서 valance band의 전자를 conduction band로 이동하는 과정이 반복되면서 캐리어가 기하급수적으로 증가하는 현상
    

    

  • pn junction 공정 시 경계면이 수직이 아닌 곡면으로 나타나는데, 이 부분에서 electric field가 강하게 걸리기 때문에 breakdown이 먼저 발생하게 된다.
• Zener Breakdown
  

  

  • p, n 반도체 도핑 농도가 높은 경우
  • 얇은 depletion layer ($<\sim10nm$)에 의한 터널링 현상
  • p-type의 valance band 준위가 n-type의 conduction band 준위보다 위에 있어야 발생
  • Avalanche보다는 breakdown voltage가 낮음 : $<6E_g/q$
  • 온도가 높아지면 depletion region이 넓어져 breakdown voltage는 감소 (Avalanche breakdown은 증가)
  • avalanche 대비 breakdown이 완만하게 발생

3. Recombination-Generation Current

• depletion layer에서 Recombination 혹은 generation이 발생
• depletion layer $J=const$이므로 일정량의 캐리어를 유지하기 위해 quasi-neutral region에서 캐리어가 추가 공급되면서 전류 증가
  

  

• forward bias : recombination에 의해 majority carrier injection으로 전류 증가
• reverse bias : generation에 의해 p-type valance band 전자가 conduction band로 이동, 생성된 Electron-Hole pair는 각각 majority carrier 방향으로 이동

• R-G current

  • $\frac{\partial n}{\partial t}|_{R-G}=-\frac{np-n_i^2}{\tau_p(n+n_1)(\tau_n(p+p_1))}$

    • $I_{R-G}=-qA\int^{x_n}_{-x_p}\frac{\partial n}{\partial t}|_{R-G}dx$'

  • Reverse Bias : $\frac{\partial n}{\partial t}|_{R-G}\simeq\frac{n_i^2}{\tau_pn_1+\tau_np_1}\simeq\frac{n_i}{2\tau_0}$

    • $\tau_0=\frac{1}{2}[\tau_pe^{(E_T-E_i)/kT}+\tau_ne^{(E_i-E_T)/kT}]$
• $I_{R-G}=-qaW\frac{n_i}{2\tau_0}$
  • Total Forward Current = Ideal diffusion current + recombination current
    • $I=I_{01}[e^{qV_A/kT}-1]+I_{02}[e^{qV_A/2kT}-1]$
    • diffusion current가 recombination current보다 온도 및 $n_i$에 더 민감하다.
      • $I_{diff}\propto e^{V_A/kT}, n_i^2$
      • $I_{R-G}\propto e^{V_A/2kT}, n_i$
    • 즉 depletion region이 좁을수록 다이오드는 이상적인 경우에 가깝게 동작
  • Total Reverse current = Ideal diffusion current + Generation current
    • $I=I=I_{01}[e^{qV_A/kT}-1]-\frac{qAWn_i}{2\tau_0}$
    • diffusion current는 $n_i$의 영향을 받기 때문에 Ge반도체는 거의 ideal한 동작을 하며, Si나 GaAs반도체는 그 값이 상대적으로 낮아 reverse current는 포화되지 않는다.
    • 온도가 높아지면 반도체는 ideal한 상태와 비슷하게 동작

4. Deviations at High Current

• 전류 증가 > p, n영역의 전압 강하 증가
  

  

• Junction Voltage $V_J=V_A-IR_S$
  • $\Delta V\equiv V_A-V_J=IR_S$
  • $I=I_0[e^{V_J/nV_T}-1]=I_0[e^{(V_A-IR_S)/nV_T}-1]$

• High level injection : minority carrier injection으로 인해 농도가 majority carrier보다 높아지는 현상
  • $np\simeq (\Delta p)^2+n_i^2$
  • $\Delta p\simeq n_i[e^{V_A/2V_T}-1]$
  • $I\propto[e^{V_A/2V_T}-1]$
  • high-level injection에 의해 I-V characteristics에서 차이 $\Delta V$ 형성

5. Deviations from Ideal

• A : 역전압에 의한 breakdown
• B : generation current에 의해 ideal reverse current보다 더 낮은 전류가 흐름
• C : low-level recombination current
• D : high-level injection current
• E : 저항 특성에 의해 linear하게 증가

2. Ideal Diode Equation

1. Quantitative Derivation

• pn diode 구조
  

  

  • depletion region 외에는 거의 Neutral한 상태로 가정
  • Equation of state

    • Minority Carrier Diffusion (to quasi-netral p-region) Eq. :
      $\frac{\partial\Delta n_p}{\partial t}=D_N\frac{\partial^2\Delta n_p}{\partial x^2}-\frac{\Delta n_p}{\tau_n}=0:x\leq-x_p$

    • Depletion Region Continutiy Equation :
      $\frac{1}{q}\frac{dJ_N}{dx}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{R-G}=0$
      $-\frac{1}{q}\frac{dJ_P}{dx}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{R-G}=0$

  • Boundary Condition
    • Ohmic Contact : $\infty$ R-G rate = excess carrier가 없음
      • $\Delta n_p(-\infty)=\Delta p_n(\infty)=0$
    • depletion region 경계

      • $\Delta n_p(-x_p)=n_{p0}[e^{V_A/V_T}-1]$
        $\simeq\frac{n_i^2}{N_A}[e^{V_A/V_T}-1]$

        • $n_{p0}$ : Quasi-Neutral p-region의 전자 농도

      • $\Delta p_n(x_n)=p_{n0}[e^{V_A/V_T}-1]$
        $\simeq\frac{n_i^2}{N_D}[e^{V_A/V_T}-1]$

        • $p_{n0}$ : Quasi-Neutral p-region의 전자 농도

• Major Assumption
  • steady steate, 1차원 계산
  • non-degenerate : 볼츠만 근사
  • Minority carrier가 반응의 주 요인으로 가정
  • Low-level Injecton
  • drift, diffusion, Thermal R-G 외의 반응은 없음
  • depletion region에서는 Thermal R-G는 거의 없음
    • $J=J_N+J_P=const$

• drift, diffusion, Thermal R-G 외의 반응이 없을 때

  • $x\leq-x_p$

    • $D_N\frac{\partial^2\Delta n_p}{\partial x^2}-\frac{\Delta n_p}{\tau_n}=0$
    • $J_N=qD_N\frac{d\Delta n_p}{dx}$

  • $x\geq x_n$

    • $D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p}=0$
    • $J_P=-qD_P\frac{d\Delta p_n}{dx}$

  • quasi-neutral region에서 전계 $\epsilon\simeq0$이므로 drift 전류는 무시

1. I-V Characteristics : Qualitative Analysis

1. Ideal pn Diode Operation

• 이상적인 p-n접합 : 정방향 전압을 걸어줄 때만 전류가 흐름
  • $I=I_0(e^{V_A/V_T}-1)$
  • $I_0\simeq10^{-14}A$
  • $V_T=kT/q\simeq0.0259V$
  • pn junction은 저항으로 동작하지 않는다.

• 정량적 분석
  

  

  • equilibrium

    • p-type의 전자 : minority carrier, junction 근처에서는 potential 차이에 의해 n-type으로 넘어가기 쉬운 상태가 되어 diffusion-drift가 발생

    • n-type의 전자 : potential barrier에 의해 제한된 수의 전자만 diffusion

    • $J_N=J_{N|drift}(p\rArr n)+J_{N|diff}(n\rarr p)=0$

    • n-type 정공과 p-type 정공 역시 같은 원리로 equilibrium 상태가 됨

    • $J_P=J_{P|drift}(p\rArr n)+J_{P|diff}(n\rarr p)=0$

    • 전류밀도는 p, n 모두 0

  • 정방향 Bias
    

    

    • p-type 전자 : diffusion-drift에 의해 n-type로 이동

    • n-type 전자 : potential이 낮아져 더 많은 양의 캐리어가 p-type으로 diffusion 가능

    • $J_N=J_{N|drift}(p\rArr n)+J_{N|diff}(n\rarr p)=J_{N|diff}$ (potential을 넘어간 diffusion 분량만 전류로 작용)

    • $J_P=J_{P|diff}$ (potential을 넘어간 diffusion 분량만 전류로 작용)

    • built-in potential이 $q(V_{BI}-V_A)$로 감소, 이동하는 캐리어 수가 증가 = 전류 흐름

    • 원래 페르미 준위보다 p는 내려가고, n은 올라감 : $-qV_A$만큼 차이나게 됨 (p방향에 +전압을 걸어주어 ptype 준위가 내려갔으므로 전위차는 -가 됨)

    • minority carrier injection : forward bias에 의해 potential barrier가 낮아지면서 majority carrier가 minority carrier 자리로 이동하게 된다.

    • $e^{V_A/V_T}$에 비례한 전류 형성 : carrier injection에 의해 junction 근처에서 exponential한 캐리어 분포 형성

  • 역방향 Bias
    

    

    • potential barrier가 높아져 majority carrier의 diffusion은 거의 일어나지 않음
    • junction 근처에서 minority carrier의 농도가 낮기 때문에 junction 근처로 diffusion, 이후 potential에 한 drift
    • $J_N\simeq J_{N|drift}(p-region)$
    • $J_P\simeq J_{P|drift}(n-region)$
    • minority carrier의 양은 매우 적으므로 ($\sim 10^3$) 전류는 매우 작게 흐름

• forward/reverse bias 모두 minority carrier 영역에서 전류 발생
  • forward bias의 경우 injection에 의해 높은 전류가 흐름
  • reverse bias의 경우 원래 있던 캐리어만 diffusion하여 전류가 생성되므로 전류가 매우 적게 흐름

3. Quantitative Solution

1. Electrostatics: Assumptions & Definitions

• 가정
  

  

  • 1차원, 평면 접합 부분만을 두고 계산
  • Ohmic Contact - 반도체 사이는 매우 작은 저항값을 갖는 linear한 I-V 특성을 갖고 있음
  • metallurgical junction을 x=0인 좌표로 설정
  • $V_A$ : p - n 사이에 인가된 전압 - built-in potential은 $V_A$와 반대방향

2. Electrostatics of a Step Junction in Equilibrium

• $V_A=0$일 때 Step Junction Electrostatics

  • Electric Field

    • $\rho(x)\simeq\begin{cases} -qN_A : -x_p\leq x<0\\ qN_D : 0\leq x\leq x_n \end{cases}$, $qN_Ax_p=qN_Dx_n$
    • $\frac{dE(x)}{dx}=\frac{\rho(x)}{\epsilon_0\epsilon_s}\simeq\begin{cases} -qN_A/\epsilon_0\epsilon_s : -x_p\leq x<0\\ qN_D/\epsilon_0\epsilon_s : 0\leq x\leq x_n \end{cases}$
      
      $\rarr E(x)\simeq\begin{cases} -qN_A[x_p+x]/\epsilon_0\epsilon_s : -x_p\leq x<0\\ qN_D[x_n-x]/\epsilon_0\epsilon_s : 0\leq x\leq x_n \end{cases}$
    • Boundary Condition : $E(-x_p)=E(x_n)=0$

  • Step Junction Electric Potential

    • $-\frac{dV(x)}{dx}=E(x)\simeq\begin{cases} -qN_A[x_p+x]/\epsilon_0\epsilon_s : -x_p\leq x<0\\ qN_D[x_n-x]/\epsilon_0\epsilon_s : 0\leq x < x_n \end{cases}$
      
      $\rarr V(x)\simeq\begin{cases} -qN_A[x_p+x]^2/2\epsilon_0\epsilon_s : -x_p\leq x<0\\ V_{BI}-qN_D[x_n-x]^2/2\epsilon_0\epsilon_s : 0\leq x< x_n\\ V_{BI} : x\geq x_n \end{cases}$
    • Boundary Condition : $V(-x_p)=0,\ V(x_n)=V_{BI}$

  • Depletion Region

    • $V_{BI}=\frac{qN_A}{2\epsilon_0\epsilon_s}x_p^2+\frac{qN_D}{2\epsilon_0\epsilon_s}x_n^2$
    • 연속 조건에 의해 $N_Ax_p=N_Dx_n$이므로
      $V_{BI}=\frac{q}{2\epsilon_0\epsilon_s}[N_A+\frac{N_A^2}{N_D}]x_p^2=\frac{qN_A}{2\epsilon_0\epsilon_s}[\frac{N_D+N_A}{N_D}]x_p^2$
    • $x_p=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_D}{N_A[N_A+N_D]}V_{BI}}$
    • $x_n=\frac{N_A}{N_D}x_p=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_A}{N_D[N_A+N_D]}V_{BI}}$
    • $W=x_p+x_n=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_A+N_D}{N_AN_D}V_{BI}}$

3. Electrostatics of a Step Junction with $V_A\not ={0}$

• 다이오드에 Bias $V_A$가 인가된 경우
  • p, n, 양 단자에서는 전압 강하가 거의 없음
  • depletion region에서 대부분 전압 강하 $V_A$가 일어남
• $V_{BI}-V_A=\frac{qN_A}{2\epsilon_0\epsilon_s}x_p^2+\frac{qN_D}{2\epsilon_0\epsilon_s}x_n^2$
  • $V_{BI}\simeq\frac{kT}{q}ln(\frac{N_AN_D}{n_i^2})$
• $-x_p<x\leq0$에서
  • $E(x)= -\frac{qN_A}{\epsilon_0\epsilon_s}(x_p+x)$
  • $V(x)=\frac{qN_A}{2\epsilon_0\epsilon_s}(x_p+x)^2$
  • $x_p=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_D}{N_A[N_A+N_D]}[V_{BI-V_A]}}$
• $0<x\leq x_n$에서
  • $E(x)= -\frac{qN_D}{\epsilon_0\epsilon_s}(x_n-x)$
  • $V(x)=[V_{BI}-V_A]-\frac{qN_D}{2\epsilon_0\epsilon_s}(x_n-x)^2$
  • $x_p=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_A}{N_D[N_A+N_D]}[V_{BI-V_A]}}$
• $W=x_p+x_n=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_A+N_D}{N_AN_D}[V_{BI}-V_A]}$