6. The Frequency Response Design Method

1. Frequency Response

• 주파수 응답 : 선형시스템에 sinusoidal 입력이 들어갔을 때의 응답
  • 입력 $u(t)=Asin(w_0t)$
  • 초기값 0일 때 출력 $Y(s)=G(s)\frac{Aw_0}{s^2+w_0^2}$
  • G(s)가 n개의 pole을 갖는다고 할 때,
    $Y(s)=\frac{\alpha_1}{s-p_1}+\frac{\alpha_2}{s-p_2}+...+\frac{\alpha_n}{s-p_n}+\frac{\alpha_0}{s+jw_0}+\frac{\alpha_0^*}{s-jw_0}$
  • $\alpha_0=\lim_{s\rarr -jw_0}G(s)\frac{Aw_0}{s^2+w_0^2}=-\frac{A}{2j}G(-jw_0)$
  • $\alpha_0^*=\frac{A}{2j}G(jw_0)$
• 주파수 응답 $y(t)$
  $=\alpha_1e^{-p_1t}+\alpha_2e^{-p_2t}+...+\alpha_ne^{-p_nt}+\frac{A}{2j}[G(jw)e^{jw_0t}-G(-jw)e^{-jw_0t}]$
  $=\alpha_1e^{-p_1t}+\alpha_2e^{-p_2t}+...+\alpha_ne^{-p_nt}+|G(jw_0)|Asin(w_0t+\phi)$
  • $\phi=tan^{-1}\frac{Im[G(jw_0)]}{Re[G(jw_0)]}$
  • 안정적인 시스템 응답이 steady state가 되는 경우, pole 항은 모두 소거 :
    $y(t)=|G(jw_0)|Asin(w_0t+\phi)=AMsin(w_0t+\phi)$
  • 주파수 응답 특성(Frequency Response Characteristics) : 시스템의 sinusoidal 입력에 따른 고유한 Magnitude, Phase의 주파수 응답 특성

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• Bode Plot : 사인파 입력의 주파수가 변화함에 따라 응답의 Magnitude, Phase 변화를 각각 나타내는 그래프

  • x축(주파수) : log scale
  • y축(Magnitude) : log scale
  • y축(phase) : linear scale
  • Compensator 설계에 활용 가능
  • 각 시스템의 bode plot은 더해질 수 있다.
  • log scale이므로 광범위한 응답특성 표현 가능

• System $G(jw)=\frac{\vec{s_1}\vec{s_2}}{\vec{s_3}\vec{s_4}\vec{s_5}}$일 때

  • $\vec{s}=re^{j\theta}$
  • $M=|G(jw)|,\ \phi=\angle G(jw)$
  • $logM=log\sum r,log\angle G(jw)=j(\sum\phi)loge$
  • $|G|_{db}=10log\frac{P_2}{P_1}=20log\frac{V_2}{V_1}$

• Bode Form : 시스템 인수의 상수값이 1

  • $KG(s)=K\frac{(s-z_1)(s-z_2)...}{(s-p_1)(s-p_2)..}$
    $\rarr KG(jw)=K_o\frac{(jw\tau_1+1)(jw\tau-2)...}{(jw\tau_a+1)(jw\tau_b+1)...}$

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• 전달함수 형태
  • $K_0(jw)^n$
  • $(jw\tau+1)^{\pm1}$
  • $[(\frac{jw}{w_n})^2+2\zeta(\frac{jw}{w_n})+1]^{\pm1}$

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• ex. Class-1 : $K_0(jw)^n$

  • (dB) $M=20log|K_0(jw)^n|=20log|K_0|+20nlogw$
  • $\angle(jw)^n=n\times90\degree$
  • Magnitude : $K_0=1,\ n=1$이라고 하면, 20dB/decade의 기울기를 갖는 직선 그래프 생성
    

    

  • Phase : $n\times90\degree$의 x축과 평행한 직선 그래프

• ex. Class-2, 1st-order : $jw\tau+1$

  • Magnitude
    

    

    • $w\tau<<1\rarr log|jw\tau+1|\simeq0$
    • $w\tau+1>>1\rarr log|jw\tau+1|\simeq log|\tau|+log|jw|$
    • $w\tau=1$ : Break Point
      • $M=20log|j+1|=20log\sqrt{2}\simeq3dB$
    • $((w=1/\tau),0dB)$ 좌표를 기준으로 0dB/dec, 20dB/dec 기울기의 점근선 형성
    • $(jw\tau+1)^{-1}$ 의 경우 -3dB 점을 기준으로 -20dB/dec 기울기로 감소하는 그래프 형성
  • Phase
    

    

    • $w\tau<<1\rarr 0\degree$
    • $w\tau+1>>1\rarr 90\degree$
    • Break Point : $w\tau=1\rarr 45\degree$
    • 점근선의 기울기, $90\degree,\ 0\degree$의 점근선을 기준으로 하는 곡선 그래프 형성

• ex. Class-3, 2nd-order term : $[(\frac{jw}{w_n})^2+2\zeta(\frac{jw}{w_n})+1]^{\pm1}$

  • Magnitude
    

    

    • $w<<w_n\rarr log|G(jw)|\simeq0$
    • $w>>w_n\rarr G(jw)\simeq(jw/w_n)^{\pm2}$
      $log|G(jw)|\simeq\pm2log|1/w_n|\pm2log|jw|$
    • $w=w_n\rarr log|G(jw)|\simeq log((2\zeta)^{\pm1})$
    • breakpoint에서 $20log(2\zeta)^{\pm1}$ 지점을 통과
  • Phase
    

    

    • 차단주파수 전후로 0, 180도의 위상, breakpoint에서 $\angle G(jw)=-\angle j2\zeta$
    • $zeta$가 1에 가까울 수록 완만하게, 0에 가까울수록 급격하게 그래프 변화

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• Bandwidth : Closed-Loop Transfer function
  • Amplitude가 1 > 0.707로 감소할 때의 주파수
  • 이 때 Magnitude는 약 -3dB
  • 전력이 50% 이하로 감소

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• Bode Plot 작성
  1. Magnitude : 전달함수를 Bode Form으로 조절 : $KG(jw)=K_o\frac{(jw\tau_1+1)(jw\tau-2)...}{(jw\tau_a+1)(jw\tau_b+1)...}$
  2. 주파수를 0으로 근사시켜 기울기 확인 후, 주파수 w=1일 때 점근선 작성
  3. 각 breakpoint에서의 점근선 작성 : 먼저 작성한 점근선 그래프에 breakpoint 주파수를 대입하여 그 지점을 지나는 점근선으로 작성
  4. 기울기가 감소, 혹은 증가할 때 Bode Plot 곡선은 교차점에서 $\pm3dB$ 차이나는 지점을 지나게 된다.
  5. Phase : 주파수를 0으로 근사시켜 출발점 위상 확인
  6. zero를 지나면 +90, pole을 지나면 -90도씩 변화하는 점근선 작성
  7. Phase Bode Plot 작성 : 곡선은 변화하는 점근선의 중간점을 지남

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2. Neutral Stability

• $KG(s)$의 전달함수에서 얻은 Bode Plot으로 Closed-Loop system의 안정도 판별
  • Closed-Loop system의 root locus 작성시
    모든 점에서 $1+KG(s)=0\rarr |KG(s)|=1$, $\angle G(s)=180\degree$
  • 허수축 위를 지날 때 (neutral stability) : $|KG(jw)|=1$, $\angle G(jw)=180\degree$

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• $G(s)=\frac{1}{s(s+1)^2}$에서 $\angle G(jw)=-180\degree$일 때,
  • K=2이면 $|KG(jw)|=1$
  • K<2이면 $|KG(jw)|<1$ : Stable
  • K>2이면 $|KG(jw)|>1$ : Unstable
  • 즉 $\angle G(jw)=-180\degree$일 때 $|KG(jw)|<1$ 이면 Stable
• 만약 $G(s)=s(s+1)^2$이면 $\angle G(jw)=-180\degree$일 때 $|KG(jw)|>1$ 이면 Stable

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• Bode Plot의 경우 Gain이 1 (위상이 180도)인 지점을 여러번 지날 수 있어 안정도 판별에 어려움 존재
• Nyquist 안정도 판별법을 대신 사용

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3. Nyquist Stability

• 편각의 원리
  

  

  • 전달함수 H(s)에서 s가 임의의 궤적 C1을 따를 때,
  • H(s)의 궤적은 s의 궤적 C1 안에 속하는 Zero - Pole 개수 차이만큼 원점을 포함하여 회전하는 궤적이 된다.
  • zero가 더 많으면 시계방향, pole이 더 많으면 반시계방향
• $C_1$궤적을 RHP 모두를 포함하는 궤적으로 가정
  

  

  • RHP에 zero 존재 : 시계방향 궤적
  • RHP에 pole 존재 : 반시계방향 궤적
• 전달함수 $T(s)=1+KG(s)=1+K\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{a(s)+Kb(s)}{a(s)}$일 때
  • G(s)의 RHP Pole = 1+KG(s)의 RHP pole
  • closed-loop의 RHP Pole = 1+KG(s)의 RHP zero
  • N = Z-P
    • N : 원점을 포함하며 시계방향으로 회전하는 궤적 수
    • Z, P : T(s)의 RHP zero, pole 개수
    • Z = N+P이므로, T(s)의 RHP zero가 없다면 G(s)의 RHP pole이 없으므로 안정된 시스템이다.

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• Nyquist Plot의 작성법
  1. RHP 궤적 $C_1$을 3개 영역에 나누어 KG(s)분석
     • $0\rarr j\infty$
     • $-j\infty\rarr0$
     • RHP를 따라 이동하는 Big Arc
       • 무한의 반지름을 따라 이동하므로 $KG(j\infty)$계산
       • $KG(j\infty)$ 는 pole 차수가 더 클때 0, pole, zero 차수가 동일하면 상수
  2. KG(s)의 Bode Plot 작성
     • breakout point의 좌표 확인
  3. Bode Plot을 기반으로 Nyquist Plot 작성
     • Bode Plot에서 위상 0도일 때의 Gain = + 방향 X축에서의 시작 좌표
     • 위상 변화에 따라 Gain 크기가 궤적의 반지름
  4. 궤적의 Loop 내에 포함되는 원점의 개수 확인

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• ex. $G(s)=\frac{1}{s(s+1)^2}$
• s가 매우 작은 값이 될 때, $G(s)\simeq \frac{1}{s}$로 근사
  • r이 0으로 근사 시 매우 큰 값이 된다
  • r이 무한으로 증가하면 궤적은 원점 근처를 지난다
  • 위상 $\phi$는 -90~ 90도로 이동하는 궤적이므로 G는 반시계방향 (90 ~ -90도)으로 이동하는 궤적이 된다.
  • Bode plot 작성 시 w값이 -90에 가까울 수록 Gain이 커지고, -180도에서 0, 이후로 급격히 작아지므로 3사분면에서 시작하여 w=1 지점을 끼고 원점으로 수렴하는 궤적이 나타난다.
    

    

5. The Root-Locus Design

1. Root-Locus of Basic Feedback system

• Transfer Function $\frac{Y(s)}{R(s)}=T(s)=\frac{DG}{1+DGH}$
  • 전체 시스템의 특성방정식 : $1+DGH=0$
    $\rArr a(s)+Kb(s)=0$ K : T(s)의 공통 변수로 정의
    $\rArr 1+KL(s)=0$ ($L(s)=b(s)/a(s)$)
  • Root-Locus : 임의 변수 K가 0에서 무한으로 증가할 때 근의 궤적
    • $a(s)+Kb(s)=0$의 방정식을 풀어 s의 궤적 판단
• Position Controller에 대한 Root Locus
  • 2개의 근, 2개의 근궤적 형성
  • K=0일 때, 궤적은 pole에서 시작, Breakaway point로 수렴
  • Breakaway point : 궤적이 실수축을 벗어나는 K값
  • Breakaway point 이상으로 K가 증가하면 근궤적은 허수축과 평행하게 무한으로 발산
• Open-loop pole에 대한 Root locus
  • 특성방정식의 Pole값을 K로 계산
    • K=0일 때 근궤적은 허수축 pole에서 시작
    • K가 증가함에 따라 반원형태를 그리며 수렴
    • Break-in Point : 궤적이 실수축과 만나는 K값
    • K가 break-in point 이상으로 증가하면 실수축을 따라서 한 궤적은 0으로 수렴, 다른 궤적은 무한으로 발산

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2. Guidelines for Sketching a Root Locus

• Def. 1 : root locus는 K가 0에서 무한으로 증가할 때 $1+KL(s)=0$을 만족하는 s의 궤적이다
• Def. 2 : $L(s)$의 root locus는 $L(s)$의 위상이 180도가 되는 s의 궤적이다.
  • $L(s)=-1/K$
  • $\angle L(s)=\angle [-\frac{1}{K}]=180\degree$
  • 임의 근 s에 대해, L(s)의 zero와 pole과 각각 이루는 각도의 합이 180도의 배수가 되어야 함

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• Positive Root Locus를 그리기 위한 규칙
  1. 궤적은 L(s)의 pole에서 시작해서 zero로 수렴
  2. L(s)의 궤적은 실수축을 기준으로 대칭
     • 실수인 pole,zero의 개수의 합이 홀수인 경우 가장 작은 근에서 $-\infty$방향으로 발산
  3. s가 무한으로 가는 경우 궤적은 실수축 위의 점을 기준으로 형성되는 점근선을 따라 형성
     • 점근선의 위상 $\phi=\frac{180+360(l-1)}{p-z}$ (l=1,2,3...)
     • 점근선 교차점 $\alpha = \frac{\sum p_i- \sum z_i}{p-z}$
     • p : pole 개수 / z : zero 개수
     • l : 0, 1, 2, ...
  4. root locus 출발/도달 각도
     • pole에서 궤적이 출발하는 각 $\phi_{dep}=\frac{\sum\psi_i-\sum\phi_i-180-360(l-1)}{q}$
       • $\psi$ : 임의 지점과 zero 사이의 각
       • $\phi$ : 임의 지점과 pole 사이의 각
       • q : 해당 pole의 중근 개수
     • zero로 궤적이 도달하는 각 $\psi=\frac{\sum\psi_i-\sum\phi_i+180+360(l-1)}{q}$
  5. root locus가 허수축을 지날 때 교차점
     • s=jw꼴로 나타나므로 특성방정식의 짝수 차수 항들은 0이 되어야 함
     • 1, 3, 5,...차 항만 남긴 후 해당 식이 0이 되는 근이 허수축 교차점
     • 허수축을 지날 때의 K값은 routh array를 구성할 때 행의 모든 값을 0으로 만드는 값이다.
  6. Multiple root
     • $a(s)+Kb(s)=0$꼴로 정리했을 때
     • $b\frac{da}{ds}-a\frac{db}{ds}=0$을 만족하는 실수값이 있을 때 그 점이 궤적의 교차점(breakaway, breakin point)
     • 이때 break point는 근궤적 위에 존재해야 함

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3. Selected Illustrative Root Locus

• P 컨트롤러의 근궤적
  • $G(s)=1/s^2\rArr 1+k_p\frac{1}{s^2}=0$
  1. pole s=0에서 궤적 시작, 두 선 모두 무한으로 발산
  2. 근이 2개이므로 실수축을 지나지 않음
  3. 점근선의 교차점 0, 위상 $\pm90\degree$
  4. 출발 각도 $\pm90\degree$
  5. 조건 3, 4에 의해 허수축만을 따라 움직임
  6. breakaway point - s=0
     

     

• PD 컨트롤러의 근궤적
  • $1+[k_p+k_ds]\frac{1}{s^2}=0$
    $k_p=k_d=K$일 때 $\rArr1+K\frac{s+1}{s^2}=0$
  1. 근의 개수 : p=2 (0 중근), z=1 (s+1=0)
     1개 궤적은 무한으로 발산
  2. zero가 1개이므로 실수축을 따르는 궤적 존재
  3. 점근선의 교차점 1, 위상 180도
  4. pole의 출발각 $\phi=\pm90\degree$
  5. routh array를 그렸을 때 허수축을 지나는 조건 x
  6. s=0, -2에서 근궤적 교차
     

     

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4. Design Using Dynamic Compensation

• P 컨트롤러에서 D 컨트롤러를 추가하면 궤적이 허수축에서 LHP로 이동하여 안정된 시스템이 되는 것을 확인할 수 있다.
  • 실제 미분 동작은 오차값의 시간 미분으로 동작
  • 오차 역시 노이즈가 포함되므로, 이를 미분하면 신호에 왜곡이 발생
  • 그렇기 때문에 미분기 동작은 practical한 동작은 아님 : 필터링 필요
  • 컨트롤러 $D(s)=k_p+\frac{k_ds}{1+s/p}$ : 미분기에 필터 (pole = LPF 역할) 추가
    • lead compensator : 미분기에 근사한 동작을 구현
    • rise time을 감소시켜 응답을 빠르게 만듦
    • Overshoot 감소
    • $K\frac{s+z}{s+p}$ ( p > z )
  • $\phi(jw)=\angle D(jw)=tan^{-1}(\frac{w}{z})-tan^{-1}(\frac{w}{p})>0$ : 컨트롤러는 항상 앞선 위상으로 동작

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• Lag Conpensation : 적분기에 근사한 동작 ( $K\frac{s+z}{s+p}$ ( p < z ) )

  • PI 컨트롤러는 $D(s)=K\frac{s+z}{s}$ 형태로 표현

    • PI 컨트롤러의 feedback system이 동작 중 피드백이 사고로 인해 끊어지는 경우가 있음
    • open loop 시스템에서 PI 컨트롤러는 실제로 정확히 0이 아닌, 미세한 pole 값을 갖게 됨
    • 이 pole이 RHP인 경우 시스템은 불안정 (오차를 적분하므로 계속 누적)

  • Lag compensator는 pole을 LHP로 설정하여 steady-state 정확도를 높임

    • PI controller의 경우 pole=0인 경우 system type이 증가하여 unit step response에 대한 steady state error가 0
    • lag compensator의 경우 차수의 변화가 없어 steady state error가 약간 존재)

  • $\phi(jw)=\angle D(jw)=tan^{-1}(\frac{w}{z})-tan^{-1}(\frac{w}{p})<0$ : 컨트롤러는 항상 지연된 위상으로 동작

4. Analysis of Feedback

1. Basic Equations of Control

• open loop system : disturbance(외란)에 민감하고, steady state error가 점점 증가(누적)
  

  

  • 출력 $Y_{OL}=GD_{OL}R+GW$
  • Transfer function $T_{OL} = \frac{Y_{OL}}{R}=GD_{OL}$ (외란은 무관)
  • 오차 $E_{OL}=R-Y=[1-GD_{OL}]R-GW$

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• closed loop system : 피드백을 이용하여 외란 제거, 안정도 높음
  

  

  • 외란 W와 센서 노이즈 V가 같이 존재
  • Controller 입력 $U=R-F$
  • 피드백 $F=D_{CL}GU+GW+V$
  • 출력 $Y_{CL}=D_{CL}GU+GW$
    $=\frac{D_{CL}G}{1+D_{CL}G}[R-GW-V]+GW=\frac{D_{CL}G}{1+D_{CL}G}[R-V]+\frac{GW}{1+D_{CL}G}$
  • 오차 $E_{CL}=R-Y=\frac{R}{1+D_{CL}G}-\frac{GW}{1+D_{CL}G}+\frac{D_{CL}GV}{1+D_{CL}G}$
  • 전달함수 $T_{CL}=\frac{GD_{CL}}{1+GD_{CL}}$

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• Open loop / Closed loop의 안정도

  • Open loop system의 전달함수 $T_{OL}=GD_{OL}$

    • Plant G(s)의 pole이 우반면에 존재(불안정)시 전체 시스템 T(s) 역시 불안정하게 됨
    • ex. $G(s)=\frac{1}{s-1},\ D(s)=\frac{cs+d}{s^2+as+b}$이면 둘을 곱해도 unstable pole을 갖게 됨
    • D의 $cs+d$를 G(s)의 pole과 동일하게하여 식에서는 지울 수 있다 해도,
      오차에 의해 실제 시스템에서는 둘을 정확하게 일치하는 것이 불가능하다.
      그러므로 open-loop system의 불안정 pole을 지우는 것은 사실상 불가능함.

  • Closed loop system의 전달함수 $T_{CL}=\frac{GD_{CL}}{1+GD_{CL}}$

    • $G(s)=a(s)/b(s),\ D_{CL}(s)=c(s)/d(s)$라 가정
    • 전달함수의 pole 식은 $a(s)c(s)+b(s)d(s)=0$으로 정리된다.
    • 즉 G(s)의 b(s)가 unstable pole을 갖더라도 $D_{CL}(s)$의 적절한 조정으로 전달함수의 2차 방정식은 stable하게 조절 가능

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• Disturbance Rejection : 외란 W에 의한 오차

  • Open-loop system disturbance $E_{OL}(s)=GW$

    • 시스템 G와 외란 W 모두 조절이 불가능한 요인이므로, steady state에서의 오차는 조절 불가

  • Closed-loop system disturbance $E_{CL}=\frac{GW}{1+D_{CL}G}$

    • 제어 가능한 $D_{CL}$을 가능한 크게 만들면 Open loop 대비 오차를 줄일 수 있음
    • steady state Error $E_{CL}(s)=\frac{E_{OL(s)}}{1+GD_{CL}}$

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• Sensitivity

  • 임의 시스템을 장시간 구동하면 시스템에 변형이 발생

  • sensitivity : 만약 Plant G에 변형이 왔을 경우 전체 시스템(전달 함수)에 발생하는 변형

    • $G\rArr G+\delta G$일 때 $T\rArr T+\delta T$의 정도
    • sensitivity T to G : $S_G^T=\frac{\delta T/T}{\delta G/G}=\frac{G}{T}\frac{\delta T}{\delta G}$

  • Open-loop system의 경우

    • $T_{OL}=GD_{OL}$ (Controller 변화는 없다고 가정)
      $\rarr T_{OL}+\delta T_{OL}=(G+\delta G)D_{OL}$
    • $\delta T_{OL}=(\delta G)D_{OL}$이므로
      $S_G^{T_{OL}}=\frac{G}{T_{OL}}\frac{\delta T_{OL}}{\delta G}=\frac{1}{D_{OL}}D_{OL}=1$
    • 즉 Open-loop system의 stability = 1 : Plant의 변화가 그대로 system에 반영

  • Closed-loop system의 경우

    • $T_{CL}=\frac{GD_{CL}}{1+GD_{CL}}$
      $\rArr T_{CL}+\delta T_{CL}=\frac{(G+\delta G)D_{CL}}{1+(G+\delta G)D_{CL}}$
    • $\delta T_{CL}=\frac{dT_{CL}}{dG}\delta G$
      $S_G^{T_{CL}}=\frac{G}{T_{CL}}\frac{dT_{OL}}{dG}=\frac{G}{GD_{CL}/[1+GD_{CL}]}\frac{[1+GD_{CL}]D_{CL}-D_{CL}[GD_{CL}]}{[1+GD_{CL}]^2}$
      $=\frac{1}{1+GD_{CL}}$
    • Controller $D_{CL}$의 조정에 따라 sensitivity의 감소 가능

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2. Control of Steady State Error to Polynomial Input

• Stable Unit negative Feedback system
  

  

  • $E(s)=R(s)-Y(s)=R-\frac{DG}{1+DG}R=\frac{1}{1+DG}R$
  • steady-state error : $e_{ss}(t)=lim_{t\rArr\infty}[r(t)-y(t)]$
    $=lim_{s\rArr0}s[R(s)-Y(s)]$ (Final Value Thm.)
    $=lim_{s\rArr0}\frac{sR}{1+DG}$

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• 입력 신호에 따른 steady-state error의 응답
  

  

  • (a) unit step input : $R(s)=1/s$
    • 일정한 값 입력 > 일정 위치 목표
    • $e_{ss}=lim_{s\rArr0}\frac{1}{1+DG}$
    • Position error Constant : $K_p=lim_{s\rarr0}D(s)G(s)$
    • $\therefore e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}$
      

      

  • (b) unit ramp input : $R(s)=1/s^2$
    • 일정 기울기 입력 > 일정 속도 목표
    • $e_{ss}=lim_{s\rArr0}\frac{1/s}{1+DG}=lim_{s\rArr0}\frac{1}{sDG}$
    • velocity error Constant : $K_v=lim_{s\rarr0}sD(s)G(s)$
    • $\therefore e_{ss}=\frac{1}{K_v}$
      

      

  • (c) unit parabola input : $R(s)=1/s^3$
    • 2차 미분이 일정 > 일정 가속도 목표
    • $e_{ss}=lim_{s\rArr0}\frac{1/s^2}{1+DG}=lim_{s\rArr0}\frac{1}{s^2DG}$
    • Acceleration error Constant : $K_a=lim_{s^2\rarr0}s^2D(s)G(s)$
    • $\therefore e_{ss}=\frac{1}{K_a}$
      

      

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• System Type
  • pole값이 0이 되는 $D(s)G(s)$식의 차수
  • $D(s)G(s)=a(s)\ /\ [s^nb(s)]$라고 할 때, 이 시스템을 n차 시스템이라고 정의
  • 0차 시스템 : $K_p=1/[1+K_p],\ K_v=0$
  • 1차 시스템 : $K_p=\infty,\ K_v=constant,\ K_a=0$
  • n차 시스템
    • 입력 $R(s)=1/s^{k+1}$일 때
    • n > k : $e_{ss}=0$
    • n < k : $e_{ss}=\infty$
    • n = k = 0 : $e_{ss}=1/(1+K_0)$
    • $n=k\not ={0} : e_ss=1/K_n$
    • 시스템 차수보다 낮은 차수의 오차상수는 0, 높은 차수의 오차상수는 무한대가 된다.

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3. PID control

• Closed-Loop system의 컨트롤러의 전달함수를 D를 조절하여 오류값을 비례(proportional) - 적분(Integral) - 미분(Derivative)하는 컨트롤러
• controller $D(s)=K_P+\frac{K_I}{s}+K_Ds$
• P controller : 오류값에 비례하는 제어
  • $DG=\frac{k_pA}{\tau s+1}$ (type 0)
  • position error const. $K_P=Ak_P$
  • steady-state error $e_{ss}=\frac{1}{1+Ak_P}$
• PI controller : 오류값에 비례+미분 제어
  • $DG=\frac{A(s_p+k_I/s)}{\tau s+1}$ (type 1)
  • position error const. $K_P=\infty$
    • unit step에 대한 $e_{ss}=0$
    • I controller에 의해 위치의 steady-state error 제거
  • velocity error const. $K_V=Ak_I$
    • unit ramp에 대한 $e_{ss}=\frac{1}{AK_I}$

3. Dynamic Response

1. Laplace transform

• 미분 방정식의 풀이를 위해 사용
• $\mathcal{L}\{{f(t)}\}=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt=F(s)$
  • 시간 영역의 함수 f(t)를 주파수 영역의 함수 F(s)로 변환
  • $s=-\sigma\pm jw$
  • $jw$ : f(t)의 주파수
  • $\sigma$ : 진폭의 감쇄
  • Fourier Transform : $s=\pm jw$에 대한 Laplace Transform
• Laplace Transform Property
  • $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$
  • $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t)$ (inverse L.T.)
  • $\mathcal{L}\{kf(t)\}=kF(s)$
  • $\mathcal{L}\{f_1(t)+f_2(t)\}=F_1(s)+F_2(s)$
  • $\mathcal{L}[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)+f(0)$
  • $\mathcal{L}[\frac{d^nf(t)}{dt^n}]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-...-f^{n-1}(0)$
  • $\mathcal{L}[\int^t_0f(\tau)d\tau]=\frac{1}{s}F(s)$

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2. Inverse Laplace Transform

• $F(s)=\frac{b_1s^m+b_2s^{m-1}+...+b_{m+1}}{s^n+a_1s^{n-1}+...+a_n}=K\frac{\Pi_{i=1}^m(s-z_i)}{\Pi_{i=1}^n(s-p_i)}$
  • 실제 존재할 수 있는 Transfer function에 대해 $n\geq m$
  • $z_i$ : 함수의 영점(zero)
  • $p_i$ : 함수의 극점(pole)
  • Partial Fraction : $F(s)=\frac{C_1}{s-p_1}+\frac{C_2}{s-p_2}+...+\frac{C_m}{s-p_n}$
    • $C_1=(s-p_1)F(s)|_{s=p_1}$

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3. Final-value Theorem

• Laplace Transform을 이용, 시간이 무한히 흘렀을 때의 시스템의 최종값 계산
• sY(s)의 모든 극값이 좌반면 (s < 0)에 존재하는 경우
  • $\lim_{t\rarr\infty}y(t)=lim_{s\rarr0}sY(s)$
• sY(s)의 모든 극값이 좌반면에 존재한다
  • = 분모의 식이 (s+a)(s+b)(s+c)...꼴로 표현
  • 이는 $y(t)=A_0+A_1e^{-at}+A_2e^{-bt}...$, 즉 0으로 수렴하는 식으로 표현
  • 만약 우반면에 존재하는 극값이 존재할 경우 y(t)는 무한으로 발산
• DC Gain
  • 임의 시스템의 Transfer Function G(s)와, 입력U(s), 출력Y(s) 가정
  • $G(S)=\frac{Y(s)}{U(s)}$
  • DC gain = $lim_{t\rarr\infty}\frac{y(t)}{u(t)}=lim_{s\rarr0}G(s)$ : 입력과 무관한 시스템 고유의 특성

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4. System Modeling

• 시스템의 신호 흐름을 표시
  

  

1. 직렬 결합
   • G1, G2의 두 시스템이 같은 선에 위치할 경우
   • 시스템은 G1, G2의 곱으로 표시
2. 병렬 결합
   • 분기점을 기준으로 G1, G2가 나눠진 후 다시 결합
   • 시스템은 G1, G2의 합으로 표시
3. 피드백
   • $\frac{진행\ 방향}{1\mp feedback\ loop}$
   • Unit negative feedback : feedback block이 1인 Block diagram
     • 출력 신호가 온전히 input으로 들어오는, 이상적인 feedback

• 분기점(pickoff point) 이전의 분기신호를 분기점 이후로 옮기면, 중간에 있는 block의 역수인 block을 곱하여 배치한다.
• 신호가 합쳐진 뒤 있는 block은 합쳐지기 전 각각 신호에 block이 있는 회로와 동일
• feedback을 전향경로와 동일한 선에 배치할 때, feedback point 이전에 피드백 block의 역수인 block을 배치한다.

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5. Effect of Pole Location

• 시스템의 전달함수가 $H(s)$일 때
  • $H(s)=\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{b_1s^m+b_2s^{m-1}...+b_ms+b_{m+1}}{a_1s^n+a_2s^{n-1}...+a_ns+a_{n+1}}=K\frac{\Pi_{i=1}^m(s-z_i)}{\Pi_{i=1}^n(s-p_i)}$
  • pole : $H(s)$가 $\infty$가 되는 값들 ($a(s)=0$)
  • zero : $H(s)$가 0이 되는 값들 ($b(s)=0$)
• Impulse response
  • impulse function : let $u(t)=\delta(t)$, $U(s)=1$
  • 시스템 $H(s)$의 impulse 입력에 대한 출력
  • $Y(s)=H(s)U(s)=H(s)\cdot1=H(s)$
    출력 $y(t)=\mathcal{L}^-1\{H(s)\}=h(t)$
    • 크기가 1인 순간 출력에 대한 응답이므로, 시스템 자체의 고유한 response이기 때문에 impulse response를 natural response라고도 함.

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• ex. 1st order pole
  • $H(s)=\frac{1}{s+\sigma}$
  • impulse response $h(t)=exp[-\sigma t]$
  • $\sigma$가 양수일 때 시간에 따라 response가 0으로 수렴하며, 이를 stable하다고 표현
    • $H(s)$의 pole이 음수(s-plane의 좌반면)일 때 시스템은 stable한 상태가 됨
  • 1차 시스템의 time constant
    • 시스템 response가 $\frac{1}{e}$가 되는 시간 $\tau$
    • time constant가 클 수록 응답의 속도가 빠름

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• ex. 2개의 complex pole을 갖는 시스템

  • pole $s=-\sigma\pm jw_d$
  • $H(s)=\frac{w_n^2}{(s+\sigma)^2+w_d^2}=\frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_ns+w_n^2}$
  • $\zeta$ : damping ratio (속도에 의한 감쇠)
  • $w_n$ : damping이 없을 때 진동 주파수
  • $w_d$ : damping이 있을 때 진동 주파수 ($w_d=w_n\sqrt{1-\zeta^2}$)
  • impulse response $h(t)$는 지수함수와 삼각함수의 곱으로 표현됨

• s-plane expression
  

  

  • pole $s=-\sigma\pm jw_d$
  • $w_n^2=w_d^2+\sigma^2$
  • $\sigma=\zeta w_n$에서 $\zeta=\frac{\sigma}{w_n}=sin\theta$
    $\theta=sin^{-1}\zeta$

• 2차 시스템의 impulse response

  • $H(s)=\frac{w_n^2}{(s+\sigma)^2+w_d^2}$
    ( $\sigma=\zeta w_n$, $w_d=w_n\sqrt{1-\zeta^2}$)
    $=\frac{w_n^2}{(s+\zeta w_n)^2+w_n^2(1-\zeta^2)}$

  • $(L.T.)e^{-at}sin(bt)=\frac{b}{(s+a)^2+b^2}$
    $\frac{w_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}\frac{w_n\sqrt{1-\zeta^2}}{(s+(\zeta w_n)^2+w_n^2(1-\zeta^2)}$
    $a=\zeta w_n$, $b=w_n\sqrt{1-\zeta^2}$

  • $\therefore h(t)=\frac{w_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta w_nt}sin[(w_n\sqrt{1-\zeta^2})t]$

  • 2차 시스템의 impulse response는 undamped natural frequency $w_n$과 damping ratio $\zeta$에 의해 결정

    • $\zeta=0$ : 감쇄 없이 진동
    • $\zeta<1$ : 감쇄하면서 진동 (underdamped)
    • $\zeta=1$ : 진동 없는 감쇄 (Critical damped)
    • $\zeta>1$ : 목표값보다 과하게 감쇄되어 벗어남 (overdamped)

  • damping ratio $0\leq\zeta\leq1$ 가 증가 > 실제 주파수 감소

  • damping ratio가 증가 > 허수축에서 pole이 멀어짐 > $\theta$ 증가

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6. Step Response

• 임의 시스템 $H(s)$의 unit step $u(t)$에 대한 응답
• unit step의 laplace transform $U(S)=\frac{1}{s}$
• step response는 0에서 시작해서크기 1을 향해 진동하면서 수렴
• rising time ($t_r$) : 목표값의 10%에서 90%까지 상승하는 시간
• peak time ($t_p$) : 시작점에서 peak점에 도달할 때까지의 시간
  • step response : $Y(s)=\frac{w_n^2}{(s+\sigma)^2+w_d^2}\frac{1}{s}$
  • $y(t)=1-e^{-\sigma t}[cosw_dt+\frac{\sigma}{w_d}sinw_dt]$
  • peak time에서 응답곡선 기울기 = 0
  • $\dot{y}(t)=e^{-\sigma t}[\frac{\sigma^2}{w_d}sinw_dt+w_dsinw_dt]=0$
  • $w_dt=\pi$인 시간이 peak time : $t_p=\frac{\pi}{w_d}$
  • peak time은 damped natural frequency의 함수
• Overshoot ($M_p$) : peak값과 목표값의 차이
  • $M_p=1-y(t_p)=1-(1+e^{-\sigma\pi/w_d})=exp[-\sigma\pi/w_d]$
  • $\sigma=\zeta w_n$, $w_d=w_n\sqrt{1-\zeta^2}$이므로
    $M_p=exp[-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}]$
  • overshoot는 damping ratio의 함수
• settling time : 응답곡선이 목표값의 $\pm1\%$내에 도달하는 시간

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• Controller Design
  • 2차 step response $Y(s)=\frac{w_n^2}{(s+\sigma)^2+w_d^2}\frac{1}{s}$ 의 주요 parameter :
    rising time, peak time, overshoot, settling time
  • settling time
    • 응답 y(t)=0.01이 되는 시간
    • $\sigma\geq\frac{4.6}{t_s}$
  • rising time
    • 목표값의 10%에서 90%까지 상승하는 시간
    • $w_n\geq\frac{1.8}{t_r}$

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7. Stability

• Routh's Stability Criterion

  • 임의 시스템의 pole이 모두 s-plane 좌반면에 존재하면 시스템은 stable

  • n차 시스템 $a(s)=s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_n$의 안정도 판단

  • 안정 시스템의 필요조건 : 모든 계수 $a_1$~$a_n$이 양수

  • 안정 시스템의 필요충분조건 : routh array의 1번 열이 모두 양수

    

  • special case

    • 계수의 행이 최소공배수를 갖는 경우 최소공배수로 나누어 표현 가능 (부호는 변경할 수 없음)
      • ex. 행 계수가 3, 24, 96, 192인 경우 3으로 나누어 1, 8, 32, 64로 표현 가능
    • 계산한 계수 값이 0인 경우 : $\epsilon(=0^+)$로 대체하여 array 완성 후 부호 비교
    • array 중 a번째 행이 모두 0이 된 경우
      • a+1행 계수로 보조방정식 구성
      • 이 식을 미분한 계수로 0이 된 행 대체
      • ex. $s^1$행이 0, $s^2$행이 3, 12인 경우
        • $a_1(s)=3s^2+12s^0$
        • $\frac{da_1(s)}{ds}=6s$
        • 즉 0이 된 $s^1$행의 1열 계수는 6
      • a+1행부터 시작하는 보조 routh-array 추출
        • 보조 routh-array에서의 RHP = LHP, 남는 근은 허수축 위에 존재
      • routh-array에서 a+1행 위의 계수로 보조방정식 외 나머지 pole 위치 판단