[반도체공학] 4.4. Carrier Generation & Recombination

4. Carrier Generation & Recombination

1. Recombination & Generation

• 캐리어가 과도하거나 부족한 상태를 평형 상태로 되돌리는 과정\\

  

• Generation : $0+E\to e+h$

  • thermal generation : $np<n_i^2$으로 캐리어가 부족 + 열 에너지에 의해 발생
  • 빛 등 외부 에너지에 의해서도 발생

• Recombination : $0+E\leftarrow e+h$

  • $np>n_i^2$으로 캐리어가 과도해지면 발생

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• Equilibrium
  • generation과 recombination이 같은 비율로 일어나 거시적으로 변화가 거의 없는 상태
  • $np=n_i^2$
  • 전류밀도 $J_N=J_P=0$인 상태
  • 페르미 준위가 단일 값을 갖는 상태
• Steady State
  • 외부에서의 에너지 영향이 존재하나 시간에 따른 변화가 거의 없는 상태
  • $np\ne n_i^2$
  • 전류밀도는 0이 아닐 수 있음
• Transient State
  • Equilibrium / steady state 사이의 과도기
  • n, p, 페르미 준위는 시간에 따라 변화
  • 전류 밀도는 0일 수도, 아닐 수도 있음

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2. Recombination - Generation Mechanism

• Recombination\\

  

  • band-to-band recombination
    • conduction band의 전자가 valance band의 정공과 만남
    • 에너지는 빛의 형태로 방출
  • R-G center recombination
    • 불순물 등에 의해 forbidden band 내에 에너지 준위 형성
    • 이 준위에서 합쳐지거나, 이 준위를 타고 전자가 valance band로(or 정공이 conduction band로) 이동하여 합쳐지는 것으로 해석
    • 에너지는 열의 형태로 방출
  • Auger Recombination
    • band-to-band recombination으로 인한 에너지가 방출되지 않고, 같은 밴드 내 다른 캐리어로 가해짐
    • Thermalization : 에너지를 받은 캐리어는 운동 에너지를 받아 높은 준위로 올라간 후, 서서히 자신의 에너지를 방출하여 원래 준위로 복귀

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• Generation\\

  

  • Band-to-Band generation
    • 외부 에너지에 의해 전자가 valance band에서 conduction band로 올라가며 그 자리에 정공 생성
  • R-G center generation
    • 불순물 등에 의한 forbidden band 내부 준위로 인해 valance band 내 전자가 더 쉽게 conduction band로 올라감
  • impact ionization (avalanche mechanism)
    • 외부 전계에 의해 conduction band 내의 자유전자가 운동 에너지를 갖게 됨
    • 이 운동 에너지가 valance band 내 전자에 가해지면서 새로운 electron-hole pair 생성

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• Auger Process
  • impact ionization by electron
    • 외부 전계에 의해 conduction band 내의 자유전자가 운동 에너지를 갖게 됨
    • 이 운동 에너지가 valance band 내의 다른 전자에 가해지면서 새로운 electron-hole pair 생성
    • Auger Recombination : conduction band의 전자가 recombination되며 생성된 에너지가 conduction band 내 다른 전자에 가해짐
      • $R_{aug}=C_1(n^{2}p-n_0{p}_0)$
  • impact ionization by hole
    • valance band 내의 정공이 갖고 있던 운동에너지가 밴드 내 다른 전자에 가해지면서 pair 생성
    • Auger Recombination : recombination에 의해 방출되는 에너지가 hole의 운동에너지로 변환
      • $R_{aug}=C_2(n^{2}p-n_0{p}_0)$

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• Energy and Momentum Consideration
  • 전자-정공의 생성-결합은 에너지, 운동량 보존법칙을 준수
  • E-k diagram에서 E는 에너지, k는 운동량을 확인
  • 생성-결합의 중요 입자
    • 광자(photon)
      • 큰 에너지($E_{ph}=hv$), 작은 운동량 ($p=h/\lambda$, $\lambda \simeq 1\mu m$)
      • 에너지 보존 법칙에 영향
    • 포논(phonon)
      • 작은 에너지 (수십mV), 큰 운동량 ($p=h/\lambda$, $\lambda \simeq 1nm$)
      • 운동량 보존 법칙에 영향
    • 파동의 속도는 광자쪽이 훨씬 빠름 ($\simeq c$)

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• Direct/Indirect semiconductor\\

  

  • Direct Semiconudctor

    • E-k diagram에서 Conduction Band의 최저점과 Valance Band의 최고점이 나타나는 k값이 동일한 경우
    • electron-hole의 운동량이 0
    • recombination에 의한 에너지 방출 ( = 에너지 보존 법칙 ), 방출 에너지의 운동량이 0 ( = 운동량 보존의 법칙 )

  • Indirect Semiconductor

    • E-k diagram에서 Conduction Band의 최저점과 Valance Band의 최고점이 나타나는 k값이 다름
    • phonon에 의해 k의 운동량을 갖고 광자 혹은 외부 에너지에 의해 전자-정공이 결합

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• Generation Center\\

  

  • 반도체 내 도핑 혹은 결정 결함(defect) 에 의해 Conduction-Valance Band 내 에너지 준위를 형성

  • R-G Center Recombination의 속도는 추가된 준위와 conduction-valance band 간 거리 중 먼 쪽에 의해 영향

  • bandgap 사이를 이동하는 캐리어의 lifetime을 줄이기 위해 금속을 반도체에 도핑해줌

  • DRAM같은 경우 오히려 전하가 오래 머무는 것이 중요하므로 defect를 줄이는 쪽으로 공정 진행

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3. R-G Statics

• 캐리어 농도의 시간적 변화에 따른 생성-결합의 수학적 표현

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• Light Absorption
  • 위치에 따라 빛의 에너지는 지수적으로 감소
    • $I(x)=I(0)exp[-\alpha x]$
  • 빛의 파장(에너지)에 의해 빛의 흡수 계수 $\alpha$가 결정
    • 짧은 파장 = 큰 에너지 = 큰 흡수계수

• Indirect semiconductor의 경우 Generation-Recombination 과정이 valance band의 top에서 conduction band의 bottom으로 이동하는 과정이므로 에너지 뿐 아니라 phonon의 영향도 같이 받게 됨

• 이때 가해지는 에너지가 일정 이상이 되면, 굳이 conduction band의 bottom 지점이 아닌 k값이 일치하는 지점으로 이동이 가능해짐

• 이로 인해 phonon의 영향이 적어지고, 이 지점에서 흡수계수가 갑자기 커지게 됨(ex. Ge, InGaAs ...)

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• Band to Bnad generation

  • Photon의 생성 개수 $N_{ph}(x)=N_{ph}(0)exp[-\alpha x]$

  • Photon의 생성 속도 $\frac{d{N}_{ph}(x)}{dx}=-\alpha (\lambda )N_{ph}(x)$

  • 캐리어 generation 속도 = photon이 사라지는(에너지가 흡수되는) 속도

    • $$\begin{gathered} G_L(x,\lambda )=-\frac{d{N}_{ph}(x)}{dt}=-\frac{d{N}_{ph}(x)}{dx}\frac{dx}{dt}-v_{gph}{N}_{ph}(x) \\ =v_{gph}\alpha (\lambda )N_{ph}(x)=G_L(0,\lambda )exp[-\alpha (\lambda )x] \end{gathered}$$
    • alpha가 매우 작은 경우 : 생성 속도가 일정 ($G_L(x,\lambda )=G_L(0,\lambda$)
    • alpha가 매우 큰 경우 : 특정 지점에서 순간적으로 pair 생성 $G_L(x)=G_L(0)\delta (x)$

  • Free-Carrier Absorbtion : 에너지가 conduction band의 전자나 valance band의 정공에 가해져서 캐리어 생성 없이 운동 에너지만 증가시키는 현상

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• Trap Assisted R-G
  • impurity에 의해 생성된 준위에 의한 생성-결합

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• 용어 정의
  • $n_0,p_0$ : equilibrium 상태의 전자/정공 농도
  • $n,p$ : 임의 상태에서의 전자/정공 농도
  • $\Delta n\equiv n-n_0$ : equilibrium 상태에서의 전자 농도 변화
  • $\Delta p\equiv p-p_0$ : equilibrium 상태에서의 정공 농도 변화
  • $N_T$ : R-G Trap (impurity에 의해 생성된 준위)의 상태밀도

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• Low-level injection
  • Perturbation : majority carrier는 거의 변하지 않고, minority carrier만 변화한다.
    • n-type에서 $\Delta p<<n_0,n\simeq n_0$
    • p-type에서 $\Delta n<<p_0,p\simeq p_0$

• 외부 에너지가 가해주는 순간 캐리어 농도에 변화가 발생 ($\Delta p_0$)

• 시간이 흐름에 따라 재결합에 의해 $\Delta p$는 감소

• 충분한 시간이 흐르고 나면 평형 상태로 복귀 ($\Delta p=0$)

• ex) $n_i=10^{10}c{m}^{-3}$, $N_D=10^{14}c{m}^{-3}$ perturbation에 의해 $\Delta p=\Delta n=10^{9}c{m}^{-3}$

  • $n=n_0+\Delta n=10^{14}+10^9\simeq 10^{14}\simeq n_0$
  • $p=p_0+\Delta p=10^6+10^9\simeq 10^9\simeq \Delta p$

• 시간에 따른 정공의 결합/생성 변화(n-type, indirect)

  • $\frac{\partial p}{\partial t}{|}_R=-c_p{N}_{T}p$
    • $N_T$ : Trap의 상태밀도
    • $p$ : 정공의 농도
    • $c_p$ : 비례상수
  • $\frac{\partial p}{\partial t}{|}_G=-\frac{\partial p}{\partial t}{|}_{R,equilibrium}=c_p{N}_T{p}_0$
  • thermal R-G에 의해 정공의 시간에 따른 변화 $$\begin{gathered} \frac{\partial p}{\partial t}{|}_{i-thermal-R-G}=\frac{\partial p}{\partial t}{|}_R-\frac{\partial p}{\partial t}{|}_G=-c_p{N}_T(p-p_0) \\ =-c_p{N}_T\Delta p \end{gathered}$$
  • p-type 반도체에서 thermal R-G에 의한 전자의 시간에 따른 변화$\frac{\partial n}{\partial t}{|}_{i-thermal-R-G}=-c_n{N}_T\Delta n$

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• electron/hole lifetime
  • thermal R-G에서 전자, 정공의 변화 속도
    • $\frac{\partial p}{\partial t}{|}_{i-thermal-R-G}=-c_p{N}_T\Delta p=-\frac{\Delta p}{{\tau }_p}$
    • $\frac{\partial n}{\partial t}{|}_{i-thermal-R-G}=-c_n{N}_T\Delta n=-\frac{\Delta n}{{\tau }_n}$
    • ${\tau }_p=-(c_p{N}_T{)}^{-1}$ : hole의 lifetime
  • perturbation이 없는 일반적인 경우
    • $\frac{\partial p}{\partial t}{|}_{i-thermal-R-G}=\frac{\partial n}{\partial t}{|}_{i-thermal-R-G}=\frac{n_i^2-np}{{\tau }_p(n+n_1)+{\tau }_n(p+p_1)}$
    • $n_1\equiv n_{i}exp[(E_T-E_i)/kT]$
    • $p_1\equiv n_{i}exp[(E_i-E_T)/kT]$

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• Direct semiconductor의 경우
  • $R=A(n-n_0)+B(np-n_i^2)+C_1(n^{2}p-n_0^2{p}_0)+C_2(n{p}^2-n_0{p}_0^2)$
    • $A$ : R-G center Recombination
    • $B$ : Band-to-Band Recombination
    • $C_1,C_2$ : Auger Recombination
    • 캐리어 농도에 따라 lifetime 변화
    • ex. silicon
      • ${\tau }_n=(3.45\times 10^{-12}{N}_A+9.5\times 10^{-32}{N}_A^2{)}^{-1}$
      • ${\tau }_p=(7.8\times 10^{-13}{N}_D+1.8\times 10^{-31}{N}_D^2{)}^{-1}$

4. Minority Carrier Lifetime & Measurement

• 외부 에너지에 의해 추가된 carrier는 지수적으로 감소
• $\Delta n(t)=\Delta n(0)exp[-t/{\tau }_n]$
• $ln[\Delta n(t)]=ln[\Delta n(0)]-t/{\tau }_n$