[반도체공학] 4.5. Equation of State

5. Equation of State

Equations of state

• 실제 반도체에서 carrier action(generation, recombination, diffusion, drift)은 동시에 발생
• 그 결과 전자 및 정공 농도, 전위에 영향
• Equations of state
  • 반도체의 상태를 완벽하게 설명하기 위한 방정식
  • carrier action의 효과를 모두 고려
  • $n(x,y,z,t),\ p(x,y,z,t),\ V(x,y,z,t)$로 표현

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• Continuity Equation의 도출 과정

  • 생성-결합을 제외한 보존 법칙 : $\nabla\cdot J=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$

    • 전자의 $\rho=-qn$
      $\nabla\cdot J=q\frac{\partial n}{\partial t}$

    • 정공의 $\rho=qp$
      $\nabla\cdot J=q\frac{\partial p}{\partial t}$

  • 생성-결합을 고려한 Continuity Equations

    • $\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{\partial n}{\partial t}|_{drift}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{diff}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{other}$
      $=\frac{1}{q}\nabla\cdot J_N+\frac{\partial n}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{other}$

    • $\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial p}{\partial t}|_{drift}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{diff}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{other}$
      $=-\frac{1}{q}\nabla\cdot J_P+\frac{\partial p}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{other}$

• 반도체의 상태 - 전자, 정공, 전위(Eq. of states) - 밴드 다이어그램은 서로 연관되어있는 상태

  • 에너지 밴드를 그릴 수 있다 = 반도체 상태를 알 수 있다 = 정공, 전자, 전위를 안다

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• Equation Set used in Semiconductor device

  • Conservation Law : 위치에 대한 비선형 2차 편미분방정식

    • $\frac{1}{q}\nabla\cdot J_N+\frac{\partial n}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{other}$

    • $-\frac{1}{q}\nabla\cdot J_P+\frac{\partial p}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{other}$

    • $\nabla\cdot D=\rho$ ( $\nabla^2V=-\rho/\epsilon$ )

  • Constitutive Relations

    • $\rho=q(N_D^++p-N_A^--n)$ : Charge Neutality Condition
    • $D=-\epsilon E$
    • $J_N=qn\mu_nE+pD_N\nabla n$
    • $J_P=qp\mu_pE-qD_p\nabla p$

  • 매우 작은 반도체 구조에는 슈뢰딩거 방정식 역시 고려

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Minority Carrier Diffusion Equation

• 계산을 위한 가정

  • 1차원 분석

  • minority carrier에 의해 majority carrier가 구해짐

  • 전계는 매우 작음 (= Diffusion Equation)

  • uniform doping

    • 선형방정식 유도
    • uniform doping : $n=n_0(x,y,z)+\Delta n(t)$에서 $n_0$는 위치에 무관한 상수

  • low-level injection

    • nonequilibrium 상태에 의한 초과 캐리어는 majority 캐리어 농도보다 매우 작다.
    • $\Delta n(t)<<n_0$

  • 열에 의한 생성-재결합은 캐리어 농도 변화에 의해 간접적으로 발생

  • 추가적인 변화는 빛 에너지에 의해서만 발생

• Minority Carrier Diffusion Equation

  • $\frac{\partial\Delta n_p}{\partial t}=D_N\frac{\partial^2\Delta n_p}{\partial x^2}-\frac{\Delta n_p}{\tau_n}+G_L$ (p-type)

  • $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p}+G_L$ (n-type)

  • Steady State : $\frac{\partial\Delta n_p}{\partial t}$ ( $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}$ ) $=0$

  • No Concentration Gradient (No Diffusion, Uniformly Generated) :
    $D_P\frac{\partial^2\Delta n_p}{\partial x^2}$ ( $D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}$ ) $=0$

  • No Thermal R-G : $\frac{\Delta n_p}{\tau_n}$ ( $\frac{\Delta p_n}{\tau_p}$ ) $=0$

  • No Light : $G_L=0$

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Solutions of Minority Carrier Diffusion Equation

• 주어진 조건 파악 : 반도체 물질, 온도, 전자-정공 농도, lifetime, 외부 자극 등등
• 초기 상태 정의 : Fully-ionized 상태에서의 전자, 정공 농도
• 방정식 조건 분석 : Steady State, No Diffusion 등등
• 방정식 풀이 계산
• 계산한 해가 앞의 조건을 만족하는지 재확인

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• ex. room temperature, uniformly generated, n-type

  • minority carrier : $D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}$ $=0$ 이므로

  • $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=-\frac{\Delta p_n}{\tau_p}+G_L$

  • initial condition : $\Delta p_n(t=0)=0$

  • $\therefore \Delta p_n(t)=G_L\tau_p(1-exp[-t/\tau_p])$

• 시간이 흐름에 따라 excess carrier는 0에서 $\Delta p$를 향해 수렴
• 재확인
  • $G_L\tau_p$의 단위는 $1/cm^3$, 정공 농도와 단위 동일
  • low-level injection validity 확인

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• ex 2. room temperature, surface generated, n-type, $G_L=0$

  • steady state : $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p} = 0$

  • General Solution : $\Delta p_n(x)=Ae^{-x/D_p\tau_p}+Be^{x/D_p\tau_p}$

  • surface generation

    • $\Delta p_n(0)=\Delta P_{n0}$ , $\Delta p_n(\infty)=0$
    • 표면에서만 excess carrier 생성

  • $\therefore \Delta p_n(x)=\Delta P_{n0}exp[-x/\sqrt{D_P\tau_p}\ ]$

  • $\sqrt{D_p\tau_p}\equiv L_p$ : hole diffusion length

  • diffusion length

    • $<x>=\frac{\int x\Delta p_n(x)}{\int \Delta p_n(x)}$는 x=0일 때 $\Delta p_n(x)$의 접선으로 나타남
    • 기댓값 $<x>$는 거리의 평균값, 즉 Diffusion에 의해 평균적으로 캐리어가 이동하는 거리를 의미
    • 캐리어의 이동 거리는 전속밀도 $D$와 lifetime $\tau$에 비례하게 됨

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• ex3. local carrier generation, n-type

  • 특정 지점에서 Electron-hole pair가 계속 생성

  • steady state : $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p} +g\delta(x)= 0$

  • boundary condition : $\Delta p(\pm\infty)=0$

    • 생성 지점 좌우로 diffusion

  • $\Delta p(x)=\begin{cases} Aexp(x/L_N)\ :\ x<0\\ Aexp(-x/L_N)\ :\ x\geq0 \end{cases}$

  • 델타함수의 특성을 이용하여 해 계산 : $0^-$~$0^+$ 적분

    • $A=gL_N/2D_N$
    • $\therefore\Delta p(x)=\begin{cases} (gL_N/2D_N)\ exp(x/L_N)\ :\ x<0\\ (gL_N/2D_N)\ exp(-x/L_N)\ :\ x\geq0 \end{cases}$

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• ex4. Instant local carrier generation, n-type, drift & diffusion

  • ex3과 다르게 1회성 EHP 생성

  • $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\mu_p\epsilon_0\frac{\partial\Delta p_n}{\partial x}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p}$

  • diffusion에 의해 시간이 흐를수록 가우시안 형태의 분포가 폭이 넒어짐

    • $\Delta p(x,t)=p'(x,t)exp[-t/\tau_p]$

  • boundary condition : $\Delta p(\pm\infty)=0$

  • 미분방정식에 위의 해 대입

    • $\frac{\Delta p'}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2p'}{\partial x^2}-\mu_p\epsilon_0\frac{\partial p'}{\partial x}$
    • $\therefore p'(x,t)=\frac{\Delta p_s}{\sqrt{4\pi D_Pt}}exp[-\frac{(x-\mu_p\epsilon_0t)^2}{4D_Pt}](cm^{-2})$
    • $\Delta p_s$ : Electron hole pair 생성에 의한 excess carrier

  • $p'$를 위 해에 대입

    • $\Delta p(x,t)=\frac{\Delta p_s\ exp[-t/\tau_P]}{\sqrt{4\pi D_Pt}}exp[-\frac{(x-\mu_p\epsilon_0t)^2}{4D_Pt}](cm^{-2})$
    • $e^{-t/\tau_P}$ : 재결합에 의한 excess carrier 농도 감소
    • $\sqrt{4\pi D_Pt}$ : diffusion에 의한 peak 농도 감소
    • $4D_Pt$ : diffusion에 의한 분포 폭 증가
    • $(x-\mu_p\epsilon_0t)^2$ : drift에 의한 shift

  • 재확인

    • $\Delta p_s=0$
      • Electron-Hole pair 생성이 없음
      • $\Delta p(x,t)$=0
    • limiting case
      • $\tau_p=0$
        • excess carrier 생성 즉시 소멸
        • $e^{-t/\tau_P}=0$이 되므로 $\Delta p(x,t)=0$
      • $D_P=\infty$ or $t=\infty$
        • 생성된 excess carrier가 완전히 diffusion
        • $\Delta p(x,t)=0$