[반도체공학] 4.6. Hall Effect, Quasi Fermi Level

6. Hall Effect, Quasi Fermi Level

Hall Effect

• 물질에 자기장과 그에 수직한 전압을 가해 주면 majority carrier와 캐리어 농도, mobility를 분석 가능
• 자계 내에서 움직이는 전하는 $F=qv\times B$의 로렌츠 힘을 받음
• 자계와 전압에 모두 수직한 방향으로 전위차 $V_H$ 형성
  • n-type에서는 (-), p-type에서는 (+)전압 형성
  • 정공이 만약 VB 전자의 빈 자리라고 할 경우 p-type 반도체의 $V_H$ 역시 전자에 의해 (-)전압이 형성된다.
  • 하지만 실제로는 (+)전압이 형성되므로 정공 역시 빈 자리가 아닌 실제 입자라는 것을 알 수 있다.

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• Hall 전압이 가해지면 전위차에 의한 induced electric field가 형성
• 로렌츠 힘은 (-) > (+), 전계는 (+) > (-) 방향으로 형성
• steady state에서 $F=q[E+v\times B]=0$

  • 홀 전압 $V_H=E_HW=E_YW=v_XB_ZW$

  • p-type : $v_X=J_X/qp=I_X/qpWd$

    • $V_H=I_XB_Z/qpd$
    • $p=I_XB_Z/qdV_H$

  • n-type : $v_X=-J_X/qn=-I_X/qnWd$

    • $V_H=-I_XB_Z/qnd$
    • $n=I_XB_Z/qd|V_H|$

  • mobility $\mu=I_XL/qpV_XWd=I_XL/qnV_XWd$

• Hall Coefficient $R_H$
  • $R_{Hn}=-1/qn$
  • $R_{Hp}=1/qp$

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Quasi-Fermi Level

• non-equilibrium 상태에서는 mass action law가 만족하지 않음 ( $np\not ={n_i^2}$ )
• 그러므로 전자, 정공에 대한 quasi-fermi level을 각각 정의
  • $n=n_0+\Delta n=n_iexp[(F_N-E_i)/kT]$
    • $F_N=E_i+kTln(n/n_i)$
  • $p=p_0+\Delta p=n_iexp[(E_i-F_P)/kT]$
    • $F_P=E_i-kTln(p/n_i)$
  • $np=n_i^2exp[(F_N-F_P)/kT]$
• $F_N>F_P$ : Carrier excess ( $np>n_i^2$ )
• $F_N<F_P$ : Carrier deficit ( $np<n_i^2$ )
• $F_N=F_P=E_F$ : equilibrium ( $np=n_i^2$ )

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• Low level injection 하에서 페르미 레벨 대비 minority carrier의 quasi fermi level은 majority carrier보다 큰 차이를 보임
  • ex. $n_0=10^{15}$ , $p_0=10^5$ , $n_i=10^{10}$ , $\Delta n=\Delta p=10^{11}$
  • $F_N=E_i+kTln(n/n_i)\simeq E_i+kTln(n_0/n_i)=E_i+kTln(10^5)$
  • $F_P=E_i-kTln(p/n_i)\simeq E_i-kTln(\Delta p/n_i)=E_i-kTln(10)$
  • $E_F=E_i+kTln(n_0/n_i)=E_i-kTln(p_0/n_i)=E_i+kTln(10^5)$

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• 전류밀도 = diffusion + drift

  • $J_P=qp\mu_pE-qD_p\nabla p$

  • $\nabla p=\frac{n_i}{kT}e^{(E_i-E_F)/kT}(\nabla E_i-\nabla F_P)=\frac{qp}{kT}E-\frac{p\nabla F_P}{kT}$

    • $\nabla E_i=qE$
    • $E_i$, $F_P$는 상수가 아니므로 각각 미분

  • $J_P=qpE(\mu_p-\frac{qD_P}{kT})+\frac{qpD_p}{kT}\nabla F_P=\mu_pp\nabla F_P$

    • $\mu_p=\frac{qD_p}{kT}$ (einstein relationship)
• $\begin{cases} J_P=\mu_pp\nabla F_p=\mu_pp\nabla(F_P-E_i)+\mu_pp\nabla E_i\\ J_N=\mu_nn\nabla F_n=\mu_nn\nabla(F_N-E_i)+\mu_nn\nabla E_i \end{cases}$
  • $\mu_pp\nabla(F_P-E_i)$ : Drift Current
  • $\mu_pp\nabla E_i$ : Diffusion Current

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Pulse Doping

• 특정 위치에 대해서만 Donor 도핑 시
  • 도핑 중심 영역은 균일한 농도를 갖게 되므로 변화가 없음, 도핑 농도가 변화하는 지점에 대해서 drift + diffusion
    • 도핑된 위치를 중심으로 바깥으로 diffusion
    • 이온화된 Donor과 확산된 전자에 의한 전계 형성, 도핑 농도가 높은 쪽으로 전자 drift
  • 도핑 농도차가 생기는 지점을 경계로 안쪽은 +, 바깥쪽은 - 전하가 쌓여 equilibrium 상태