1. Expectation

• 주어진 랜덤 변수에 대한 평균값

• $E[X]=\overline{X}=\begin{cases} \int xf_X(x)dx (continuous\ R.V.)\\ \sum_{i=1}^\infty x_iP(x_i) (discrete\ R.V.) \end{cases}$

  • ex. 주사위 던지기
    • $E[X]=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=3.5$
  • ex2. 가우시안 분포
    • $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$
    • $E[X]=\int^\infty_{-\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})dx$
    • (치환적분 $t=x-\mu$) $=\int^\infty_{-\infty}\frac{t+\mu}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\frac{t^2}{2\sigma^2})dt$
    • $(\because\int^\infty_{-\infty}t\ exp(-t^2)dt=0)\ \mu\int^\infty_{-\infty}\frac{exp(-\frac{t^2}{2\sigma^2})}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}dt$ - 평균 0, 분산$\sigma^2$인 가우시안 분포
    • $\therefore E[X]=\mu$

• 랜덤변수 X, Y / 상수값 c에 대해

  • $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$
  • $E[cX]=cE[X]$

• 조건부 기댓값

  • $E[X|B]=\int^\infty_{-\infty}xf_X(x|B)dx$

• Moment
  • 확률분포 상의 통계량에 대한 일반화
  • $m_n=E[X^n]=\int^\infty_{-\infty}x^nf_X(x)dx$
  • $m_1=E[X]$ : 평균값
  • 분산 $E[(X-m_1)^2]$
    $=E[X^2-2m_1X+m_1^2] = E[X^2]-(E[X])^2$
    $\therefore m_2=E[X^2]=Var(X)+(E[X])^2$
• Central Moment
  • X의 평균에 대한 moment
  • $\mu_n=E[(X-\overline{X})^n]=\int^\infty_{-\infty}(x-\overline{X})f_X(x)dx$
  • $\mu_0=1, \mu_1=0$
  • $\mu_2=E[(X-\overline{X})^2]$ : 분산
  • 왜도(skewness) : $\mu_3/\sigma_3^3$
  • 첨도(kurtosis) : $(mu_4/\sigma_4^4) - 3$

2. Inequality

• chebychev's Inequality

  • $P(|X-\overline{X}|\geq\epsilon)\leq\frac{\sigma_X^2}{\epsilon^2}(\epsilon\geq0)$
  • 평균 주변의 일정 범위 ($\epsilon$) 바깥에 위치할 확률은 표준편차에 비례

• Markov's Inequality

  • $a>0, X\geq0$일 때
  • $P(X\geq a)\leq\frac{E[X]]}{a}$

3. Characteristic Function

• $\Phi_X(w)\equiv E[e^{jwX}]=\int^\infty_{-\infty}f_X(x)e^{jwx}dx$
• (inverse) $f_X(x)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}\Phi_X(w)e^{-jwx}dw$
• moment $m_n=(-j)^n\frac{d^n\Phi_X(w)}{dw^n}|_{w=0}$
• $|\Phi_X(w)|\leq\Phi_X(0)=1$

Moment Generating Function

• $M_X(v)\equiv E[e^{vX}]=\int^\infty_{-\infty}f_X(x)e^{vx}dx$
• moment $m_n=\frac{d^nM_X(v)}{dv^n}|_{v=0}$
• X가 평균 $\mu$, 분산 $\sigma^2$을 갖는 정규분포일 때
  $M_X(v)=e^{\mu v+\frac{1}{2}\sigma^2v^2}$
• Chernoff Inequality : $P(X\geq a)\leq e^{-va}M_X(v)$

4. Transformations of R.V.

• Monotonic Transformation of R.V.

  

  • $Y=T(X)$는 랜덤변수
  • $f_X\not ={0}$인 경우 T는 연속적이며 미분 가능
  • T는 단조함수(monotonic) - 계속해서 증가 or 감소
  • Y의 pdf $f_Y(y)=f_X(x)|\frac{dx}{dy}|=\frac{f_X(x)}{T'(x)}$
    • ex. x : uniform dist, y : $\sqrt{x}$일 때
      • $f_Y(y)=f_X(x)/|\frac{dy}{dx}|=2\sqrt{x}f_X(x)=2yf_X(x)=2y$
  • 랜덤변수 X가 가우시안 분포, Y=aX + b의 형태가 되면 랜덤변수 Y 역시 가우시안 분포이다.
    • 평균 = $a\mu_x + b$
    • 분산 $\sigma_Y^2=a^2\sigma_X^2$
• Non-Monotonic Transformation of R.V.
  • 랜덤변수 Y의 함수 T가 monotonic하지 않은 경우
  • ex. $f_X(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
    • $F_Y(y_0) = P(Y\leq y_0) = P(X\leq x_1) + P(x_2\leq X\leq x_3)\\ = F_X(x_1)+[F_X(x_3)-F_X(x_2)]$
    • $f_Y(y)=f_X(x_1)|\frac{dx_1}{dy}|+f_X(x_1)|\frac{dx_1}{dy}|+[f_X(x_3)|\frac{dx_3}{dy}|-f_X(x_2)|\frac{dx_2}{dy}|]$

2. Dynamic Models

• 컨트롤러 설계 전에 구하는 시스템 제어를 위한 시스템의 수학적 표현식
• 시스템의 동작을 나타내는 미분방정식
• 기계적 시스템, 전기회로, 전기적(electromechanical) 시스템

2.1. Dynamics of Mechanical Systems

• 뉴턴의 법칙 - translational motion $\vec{F}=m\vec{a}$
• $\vec{F}$ : 질량에 가해지는 힘의 벡터합
• $\vec{a}$ : 질량에 가해지는 관성 가속도
• $m$ : 질량
• $1N = 1kg\cdot m/sec^2$
• ex 1. Cruise-control model
  • 자동차는 수평 방향으로 이동한다고 가정
  • 바퀴의 회전관성은 무시
  • 자동차-지면 사이의 마찰력은 속도에 비례

    

  • $u-bx`=mx``$
  • (구하려는 값은 속도$x`\coloneqq v$)$v`+\frac{b}{m}v=\frac{u}{m}$
  • (라플라스 변환)$sV(s)+\frac{b}{m}V(s)=\frac{U(s)}{m}$
  • $\frac{V(s)}{U(S)}=\frac{1/m}{s+b/m}$
• ex 2. suspension system
  • 서스펜션은 오직 1차원 수직운동을 한다.
  • 자동차 바퀴에는 무게가 균등하게 분산된다.

    

  • $m_1$ : 타이어의 무게 / $m_2$ : 자동차 무게의 1/4
  • x : 타이어의 변위 / y : 차체의 변위 / r : 높이의 변화
  • k : 용수철의 탄성계수 / b : 댐퍼 계수
  • 변위에 따른 응답을 계산하므로 중력가속도에 의한 힘 $m_1g,\ m_2g$는 상쇄되어 사라진다.
  • 정해진 상황(ex. m2는 멈춘 채로 m1만 위로 움직인다)에 대한 differential eq.를 구하더라도 그 식은 시스템 내의 고유한 응답을 나타내는 식이기 때문에 다른 상황에 대해서도 성립할 수 있게 된다.
  1. $m_1$만 움직이는 경우
     • 아래 스프링 $k_w$는 늘어나고, 위 스프링 $k_s$는 압축된다.
     • 지변 변위를 고려하면 아래로 가해지는 힘은 $k_w(x-r)$
     • 위 스프링의 경우 $m_2$가 y방향으로 이동할 것을 고려하면 스프링의 힘은 $k_s(y-x)$ (x, y 둘다 지면 변위의 영향을 받으므로 식에서는 상쇄된다.)
     • 댐퍼 역시 y방향 변위를 고려하면 $b(y'-x')$
  2. $m_2$만 움직이는 경우
     • 스프링에 의한 힘 $k_s(y-x)$
     • 댐퍼에 의한 힘 $b(y`-x`)$
  3. 입력 : 높이 변위 r / 출력 : 자동차의 높이 변화 y
     • i. $b(y'-x')+k_s(y-x)-k_w(y-x)=m_1x``$
     • ii. $-[b(y`-x`)+k_s(y-x)]=m_2y``$
     • ii를 x에 대해 정리 후 i에 대입하면 $\LARGE{\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{k_w(sb+k_s)/m_1m_2}{s^4+b(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2})s^3+(\frac{k_s}{m_1}+\frac{k_w}{m_1}+\frac{k_s}{m_2})s^2+\frac{k_wb}{m_1m_2}s+\frac{k_wk_s}{m_1m_2}}}$
• 회전운동에 대한 뉴턴운동의 법칙
  • $M=I\alpha$
  • M : 회전 중심에 대한 모멘트의 합
  • I : 무게중심에 대한 회전관성모멘트 ($I=ml^2$)
  • $\alpha$ : 각가속도
  • ex. Pendulum

    

  • 운동방정식 $T_C-mglsin\theta=I\theta''$
  • $\theta''+\frac{g}{l}sin\theta=\frac{T_C}{ml^2}$
  • 작은 운동에 대해서 $sin\theta\simeq\theta$
  • Transfer Eq. $\frac{\Theta(s)}{T_C(s)}=\frac{1/ml^2}{s^2+g/l}$
• 실험 오차

  

  • 펜듈럼 모델을 Matlab으로 실험하여 보면 정현파 형태로 나타나는 것을 확인 가능하다.
  • 계산 편의상 단순화한 부분들에 대해 오차가 발생하기 때문에 실제 실험 결과와는 차이가 발생할 수밖에 없다.
• ex. 회전 운동과 직선 운동의 조합

  

  • 질량 $m_t, m_p$인 크레인과 펜듈럼이 각각 직선/회전운동
  • 힘 $\mu$가 가해지며, 차량은 x방향으로 이동
  1. 회전운동
  • 중력에 의해 지면 방향으로의 회전운동이 발생 : $-m_pglsin\theta$
  • 크레인의 직선운동에 의한 펜듈럼의 관성 : $m_px''cos\theta$
  • $\therefore (I+m_pl^2)\theta''=-(m_px''cos\theta + m_pglsin\theta)$
  2. 직선운동
     • 작용-반작용 N과 마찰계수 b를 고려
     • $u-N-bx'=m_tx''$
     • 펜듈럼에 의한 반작용
       • 펜듈럼 운동 $m_px''$
       • 회전 운동 $m_pl\theta''cos\theta$
       • 구심력 $\frac{mv^2}{r}=m_pl(\theta')^2sin\theta$
       • $N=m_px''+m_pl\theta''cos\theta-m_pl(\theta')^2sin\theta$
  • simplify : $b = 0, \theta\simeq0 \rArr sin\theta = \theta, cos\theta = 1$
    • 회전운동 : $-m_plx''-m_pgl\theta=(I+m_pl^2)\theta''$
    • 직선운동 : $(m_t+m_p)x''+m_pl\theta''=u$
  • 라플라스 변환
    • 회전운동 : $-s^2m_plX(s)-m_pgl\Theta(s)=s^2(I+m_pl^2)\Theta(s)$
    • 직선운동 : $s^2(m_t+m_p)X(s)+s ^2m_pl\Theta(s)=U(s)$
  • 회전운동의 식을 $X(s)$에 대해 정리 후 직선운동에 대입하면
  • $\frac{\Theta(s)}{U(s)}=\frac{-m_pl}{ ((l+m_pl^2)(m_t+m_p)-m_p^2l^2))s^2+m_pgl(m_t+m_p)}$
  • 전달함수의 단점 : 단일 입력-단일 출력(SISO)에 대한 수식 모델 설계 가능

• 정리
  1. 대상 시스템의 dynamic behavior 단순화
  2. free-body diagram
  3. 뉴턴의 법칙 / 회전운동 / 전자회로 등을 이용한 미분방정식
  4. 초기값 = 0인 조건 하에 Laplace Transform
  5. Transfer function = 출력 / 입력

Documentation

• Combinational Logic

  • 다수의 입/출력의 조합 : 진리표가 매우 복잡하다

• Documentation Standrads

  • 정확하고, 제조 가능하며, 유지보수가 가능한 디자인임을 보증
  • 구성요소
    • 스펙
    • 블록 다이어그램 : informal spec
    • schematic diagram : 공식적 스펙
      • 전기적 소자 연결, IC 타입, 핀 구성 등
    • timing diagram : 시그널 순서, 시그널 간 딜레이
    • logic device description : 논리식, 진리표, HDL 혹은 C언어로 작성됨
    • circuit description : 앞서 설명한 내용으로 설명하기 애매한 내용들

• Block Diagram : 입/출력, 내부 신호 전달
  

  

  • 작성 시 과하게 상세하거나, 애매하게 작성하지 않도록 한다.

• Signal Name

  • 변수 이름의 적절한 지정은 회로 이해에 큰 도움이 된다.
  • Go, Pause, Ready, Error 등등...
  • 신호가 asserted : 신호가 active 상태이다
  • 신호가 deasserted/negated : 신호가 active 상태가 아니다

• Bubble-to-Bubble Logic Design
  

  

  • 일반적으로 Inverting Gate가 Non-Inverting Gate보다 빠르다
  • 신호가 전달될 때 Bubble끼리 전달되도록 한다.

• Drawing Layout

  • 손으로 그리는 경우, 연결점에 dot(●) 표시를 한다.

  • 프로그램을 통해 그리는 경우, T자 접점은 허용되나, 십자 교차로 연결을 표시하는 것은 금지된다(몇몇 SW에서는 dot표시가 불가)

  • Flat Schematic Structure
    

    

    • 복잡한 회로 구성에 사용되는 방식 중 하나
    • 장점 : 회로의 부분을 각 페이지에 나누어 표시하여 모든 회로를 한 눈에 볼 수 있음
    • 단점 : 회로가 복잡해 보인다.

  • Hierarchical(구조적) Schematic Structure
    

    

    • 회로 간의 연관관계를 표시
    • 장점 : 회로 구성이 비교적 간단하게 보임
    • 단점 : 한 눈에 보기 힘듦

• 버스 : 2개 이상의 연관된 신호의 조합

Circuit Timing

• Timing Diagram : 시간적 제약의 표현을 위해 신호 간의 timing을 나타낸 것

• data 신호에 대해서, timing diagram은 data 신호가 0인지, 1인지 표시할 필요가 없다. 대신 신호가 겹치는 표시를 이용하여 신호 변화를 표시한다.
  

  

• data bus에 대해 data[7:0]과 같은 식으로 표기하며, 버스 내 신호는 항상 같은 시간 timing 을 갖는다.
  

  

• 모든 회로는 H->L, L->H에 대해 서로 다른 Propagation Delay를 갖는다.

• 회로 구성시 Propagation Delay는 더 나쁜 값을 고려하여야 한다.

Programmable Logic Devices

• PLD : 사용자가 제한된 범위 내에서 원하는 기능을 구현 가능한 device

• PLA(Programmable Logic Arrays) : 2-Level And-Or Device

  • Minterm Expressions : AND 조합이 논리합으로 나타나는 논리식을 표현
  • PLA device : n x m PLA with p product terms
    • n : 입력
    • m : 출력 = p개 입력을 갖는 OR gate 개수
    • p : product 식의 개수 = 2n개 입력을 갖는 AND gate 개수
    • PLA 입력 연결을 연결하지 않으면 1이 됨
    • PLA 입력을 모두 연결하면 0이 됨
    • PLA 출력을 연결하지 않으면 0이 됨

• PAL(programmable Array Logic) : 최근 가장 많이 사용되는 PLD

  • OR array가 고정된 채, And Array를 설정 가능
  • bidirectional i/o pin : 입/출력이 한 핀에서 사용 가능(내부 회로에서 지원 시)
  • PAL16L8 : 10개의 입력, 6개의 I/O핀, 2개의 출력핀
    • 최대 16개 입력, 8개 출력까지 지원 가능
  • GAL : Generic Array Logic devices
    • 출력단 XOR 게이트의 한쪽 단자를 GND와 fuse하여 출력 신호를 통과시키거나, high로 만들어 invert 신호를 출력할 수 있게 한다.
  • CPLD(complex PLD) : 다수의 PLD를 각 PLD에 원하는 기능을 구현 후 조합한 것
  • EEPLD(Electrically Erasable PLD) : 한번 프로그램 후에도 지우고 다시 재프로그래밍이 가능한 PLD

Decoder / Encoder

• Decoder
  • code를 푸는 회로
  • 코드, n개 입력, m개 출력으로 구성되어, 출력 포트 중 하나의 포트로만 신호가 출력된다.
    

    

  • 7-segment decoder
    • 7-segment : 7개 LED로 문자/숫자를 표시 가능한 display
      

      

    • 74x49 seven segment decoder를 이용하여 4-bit 입력을 7-segment 출력으로 변환
      

      

    • 위 진리표는 0~9 숫자만을 출력, 점선부분은 don't care terms
• Encoder
  • 코드르 만드는 회로
  • ex. $2^n$ to n binary encoder : $2^n$개 숫자를 n-bit 이진수로 변환

    

  • priority encoder : 입력에 우선순위가 존재
    • 기존 encoder의 경우 I0 입력의 floating 문제
    • 또한 비정상 출력이 존재 : I2, I4가 동시에 1이 되면 2진수 110-비정상 출력

      

    • GS_L : EI_L이 on(0)이면서 우선순위에 맞게 입력될 때 on
    • EO_L : EI_L이 on이면서 입력 없을 때 on
    • GS_L과 EO_L은 다수 74148 조합 시 사용

Tri-state devices

• 0, 1이 아닌 제3의 상태(Hi-Z)를 만들어 줌
  

  

• EN이 on일 때만 입력이 출력으로 전달되는 특성을 이용, 버스 출력에 활용 가능하다.
  

  

• dead time : low/high에서 Hi-z로 변하는 시간을 반대로 가는 시간보다 짧게 만들어 버퍼 신호 간 충돌을 막는다.
• 74245 transceiver : Tri-state buffer를 반대 방향으로 교차하여 방향 신호에 따라 데이터가 통신할 방향을 지시

  

Multiflexer(MUX)

• 입력 신호 중 원하는 신호를 선택하여 출력
• ex. 74151 8x1 multiplexer truth table

  

Demultiplexer(DeMUX)

• 입력 신호를 원하는 경로로 출력(Mux의 반대역할)
  

  

XOR gate / parity circuit

• XOR ($X = A\oplus B$) : 두 입력이 다를 때 1
• XNOR ($Y = A\odot B$) : 두 입력이 같을 때 1
• XOR parity gate
  • parity check
    • 신호 전송시 오류를 검출하는 방법
    • 오류 수정은 불가
    • 2진수 신호의 1 개수를 계산하여 even/odd parity에 따라 1의 개수가 짝/홀이 되도록 parity bit를 추가한다.
    • ex. even parity, 110 입력인 경우 parity bit=0
  • 입력을 모두 XOR하면 입력에서 1의 개수가 홀인지 짝인지 확인 가능
    • $1\oplus1\oplus0 = 0$

• ex. 에러 검출 회로
  

  

• 입력이 1110000일 때

1. write가 enable되면 메모리에 D1-D7이 저장
2. 이 때 74280(parity generator)가 xor 회로로 입력의 1 개수를 계산 (odd=1)

• write시에 I입력은 항상 0

3. read가 on일 시 74541 tri-state buffer가 enable되어 메모리 신호를 출력
4. 이때 저장된 PIN은 POUT을 통해 다시 74280으로 전송 (I = RD * POUT = 1)
5. 이 신호로 다시 74280이 parity check, odd 신호는 0이 됨(RP 포함, 1 111 0000)
6. 만약 read 중 8bit 신호 중 하나가 수정된 경우 odd가 1이 되면서 ERROR 신호가 on이 됨(ERROR = RD * ODD)

• Hamming Code
  • 오류 위치를 검출하고 1bit 오류에 대해 자기정정이 가능한 코드
  • n개 데이터에 k개 parity bit를 더하여 만들어짐
  • 패리티 비트는 $2^n(n=0,1,...)$번째 비트에 위치한다.
  • 데이터 비트 수는 $2^{k-1}-k-2\leq n\leq2^k-k-1(k\geq3)$의 공식을 따른다(k=2일 때 data bit = 1)

Arithmatic and Logic Unit(ALU)

• Comparator : 비교기
  • XOR 게이트를 사용, 두 입력이 같은지 확인
    

    

• 74x85 comparator
  • AGTBOUT : A가 B보다 크거나, AGTBIN 신호에 1이 전달되면 on
  • AEQBOUT : A와 B가 같으면서 AEQBIN에 1이 전달되면 on
  • ALTBOUT : A가 B보다 작거나, ALTBIN에 1이 전달되면 on
    

    

  1. 왼쪽 7485에 AEQBIN에 on(5V)신호를 전달하였고 A,B가 0101로 동일하므로 다음 7485에 AEQB on 전달
  2. 가운데 7485 역시 동일하게 AEQB on 전달
  3. 오른쪽 7485는 A가 1001, B는 1000으로 A가 B보다 더 크므로 AEQBOUT은 0, AGTBOUT에 1로 출력
• Half Adder
  • 1bit 숫자 2개를 더한다
  • 합과 Carry out을 각각 출력
  • 아래 자리수에의 올림인 Carry in은 더해지지 않음
• Full Adder
  • 더할 값 + 아래 자리수에서 올림의 합 계산
  • 자리수 올림되면 Carry out으로 출력
  • Ripple Adder
    

    

    • 전가산기 다수를 조합하여 여러 자리 수의 덧셈 구현
    • Carry in-out 전달 시간으로 인해 속도가 느림
  • Carry Lookahead Adder(자리올림 예측 가산기)
    • 생성(g) : carry out의 발생 여부
    • 전달(p) : carry in이 1일 경우, 덧셈의 결과가 carry out되는지 여부
    • $g = X_i * Y_i$
    • $p_i = X_i+y_i$(둘 중 하나만 1이면 carry in 발생시 carry out이 발생되므로)
    • $S = X \oplus Y \oplus C_{i}$
    • $C_{i} = g_{i-1} + p_{i-1} + C_{i-1}$
      

      

    • 구조가 복잡하여 4bit 이상으로는 잘 사용하지 않음(4bit CLA를 여러개 조합함)
• ALU
  • 산술, 논리 연산이 가능한 회로
  • 74181 : 입력과 4-bit 선택에 따라 다른 연산 결과가 나타남
    

    

1. Automatic control

1. Open-loop control
   • 출력값을 측정하지 않는 시스템
   • 입력 - [Controller] - 제어값 - [Plant : Actuator - process] - 출력
   • Plant에는 외란(disturbance)가 가해진다.
   • 외란에 대한 feedback이 없으므로 input에 대한 오류가 생긴다. 반복할 수록 이는 누적된다. 결국 원하는 signal과 완전히 다른 값을 갖게 된다.

2. Closed-loop control
   • 센서를 이용하여 출력값을 측정하여 그 값을 control signal 결정에 사용한다
   • feedback control이라고도 한다.
   • 조절부의 output을 센서로 측정, 이 값을 feedback하여 controll signal 결정에 활용한다.
   • 목표하는 output과, 실제 output 간 차이를 측정하여 이를 보상한다.
   • 센서 역시 하나의 시스템이므로, 노이즈가 포함될 수밖에 없으나, output과 유사한 결과를 나타내므로 추정에 활용할 수 있다.

• block diagram : 시스템 구성 요소를 블록으로, 신호의 흐름을 화살표로 표시하여 시각화한 것

• Closed-loop system의 값 설정

  • input : 원하는 값
  • Controller : 목표값에 비례하는 입력신호(control signal) 발생
  • Plant : 제어요소 = 조절부(Controller) + 조작부(Actuator)
  • Controller : control signal을 Actuator로 전달
  • Actuator : actuator 신호를 출력
  • Disturbance : 제어값을 교란시키는 외부 신호

• Controller 설계 시 고려사항

  1. Command Following : Output이 Input을 잘 따르는가?
  2. Disturbance Rejection : 외란을 얼마나 잘 제거하는가?
  3. Insensivity to sensor noise : 센서 노이즈에 덜 민감한가?
  4. Insensivity to Modeling Error : 수학적 모델링 에러에 덜 민감한가?