Feedback

• Op-amp 피드백
  • $V_-=\frac{R_R}{R_R+R_F}V_{out}$
  • $A_v(V_{in}-V_-)=V_out$
  • $A_vV_{in}=[1+\frac{R_R}{R_R+R_F}A_v]V_{out}$
  • $\therefore \frac{V_{in}}{V_{out}}=\frac{A_v}{1+R_2A_v/(R_1+R_2)}$
• Feedback 회로
  

  

  • $V_s=V_i+kV_o$
  • $V_o=AV_i\rarr V_s=V_i(1+kA_v)$
  • $\frac{V_o}{V_s}=\frac{V_s}{(1+kA_v)}$ : 피드백에 의해 Gain 감소
    • Gain이 무한대 $\rarr\frac{1}{1+K}$(feedback 영향만 존재)
  • 입력 임피던스
    • $V_i=I_sR_i$
    • $I_s=\frac{V_i}{R_i}=\frac{V_s}{(1+kA_v)R_i}$
    • 입력저항이 $(1+kA_v)$만큼 증가한 효과
  • 출력 임피던스 (V_s=0)
    • $i_o=\frac{V_o-AV_i}{R_o}=\frac{V_x+kA_vV_x}{R_o}=\frac{(1+kA_v)V_o}{R_o}$
    • 출력 임피던스가 $1/(1+kA_v)$로 작아지는 효과

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• 2-port network
  

  

• $V_1,\ V_2,\ I_1,\ I_2$ 중 2개의 값을 알면 나머지 값을 판단 가능
• ex. 위의 1k를 $R_1$, 아래 1k를 $R_2$라고 할 때
  

  

  • $I_1,\ V_2$를 알 때

  • $\begin{bmatrix} V_1\\ I_2 \end{bmatrix}$ $=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} I_1\\ V_2 \end{bmatrix}$

  • $a=\frac{V_1}{I_1}|_{V_2=0},\ b=\frac{V_1}{V_2}|_{I_1=0},\ c=\frac{I_1}{I_2}|_{V_2=0},\ a=\frac{I_2}{V_2}|_{I_1=0}$

  • a : $V_2$가 그라운드 $\therefore a=R_1||R_2$

  • b : $I_1$ 영향 x ($I_1$이 들어가는 선과 $R_1-R_2$접점이 끊어졌다고 판단)
    $b=\frac{R_2}{R_1+R_2}$

  • c : $I_1=\frac{V_1}{R_1||R_2},\ I_2=-\frac{V_1}{R_1}$
    $\rarr\frac{I_2}{I_1}=-\frac{R_1||R_2}{R_1}$

  • d : $\frac{1}{R_1+R_2}$

• 피드백회로 변환 $(A=10, k=0.5)$
  

  

  • $V_i'=\frac{R_i}{R_1||R_2+R_i}V_i$
    $\rarr A_v'=\frac{R_i}{R_1||R_2+R_i}A_v$
  • $R_1,\ R_2,\ R_i=1k,\ A_v=10$일 때 $A_v'=20/3\simeq6.67$
  • $A_f=\frac{A_v}{1+kA_v}$
    $=\frac{6.67}{1+6.67\times0.5}\simeq1.54$
  • $R_{if}=1.5k\times(1+kA)\simeq6k$

주파수 응답

• RC LPF 회로
  

  

  • 커패시터의 리액턴스 $X_C=\frac{1}{jwC}$
  • 출력전압 $V_o=\frac{1}{jwRC}V_i$
    

    

  • 주파수가 증가함에 따라, Gain이 -3dB(혹은 $1/\sqrt{2}$)가 되는 지점을 차단주파수라고 한다.
  • $dB=20log|A_v|$
• Common Emitter with Load C
  

  

  • Gain $A_v=-g_m(R_C||X_C)=\frac{-g_mR_C}{1+jwR_CC}$
  • $w=\frac{1}{R_CC}$일 때 실수항 = 허수항이므로 $|A_V|=\frac{1}{\sqrt{2}}$
• 입-출력 모두 커패시터 존재시(Common Source)
  

  

  • 입력 임피던스 $R_i=(R_S||X_{Cin})=\frac{R_s}{1+jwR_sC_{in}}$
    $\rarr$차단주파수 $w_{in}=\frac{1}{R_sC_{in}}$
  • 출력 임피던스 $R_o=(R_D||X_{C_L})=\frac{R_D}{1+jwR_DC_L}$
    $\rarr$차단주파수 $w_{in}=\frac{1}{R_DC_{L}}$

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Miller's Theorem

• 임의의 소자 $Z_F$의 양단의 Gain이 $A_v$일 때, 등가 소자로 나누어 해석 가능

  • $Z_1=\frac{Z_F}{1-A_v},\ Z_2=\frac{Z_F}{1-1/A_v}$

• $Z_F$를 통하는 전류 $I$는 $Z_1,\ Z_2$를 통하는 전류 $I_1,\ I_2$와 동일해야 함

  • node 1의 전압이 $V_1$, node 2의 전압이 $V_2=A_vV_1$일 때,
  • $I=\frac{V_1-A_vV_1}{Z_F}=\frac{(1-A_v)V_1}{Z_F}$
  • $I_1=\frac{V_1}{Z_1}$
  • $I_2=\frac{A_vV_1}{Z_2}$
  • 세 전류값이 모두 같으므로,
    $Z_1=\frac{Z_F}{1-A_v},\ \frac{Z_2}{A_v}=\frac{Z_F}{1-A_v}\rarr\frac{Z_2}{1-1/A_v}$

• 실제 BJT의 C-B, B-E / MOS의 G-D, G-S 사이에는 기생커패시턴스 $C_\mu,\ C_\pi$가 존재
  

  

  • ex. Common Source
    

    

  • $C_\pi$는 $C\mu$에 비해 영향이 거의 없으므로 무시
  • $C_\mu$는 각각 입력/출력 커패시턴스로 나뉨
  • MOS Gain $A_v=-g_mR_D$이므로,
    $C_{in}=\frac{C_F}{1+g_mR_D},\ C_{out}=\frac{C_F}{1+1/g_mR_D}$
  • 차단주파수 $w_{in}=\frac{1}{R_s(1+g_mR_D)C_\mu},\ w_{out}=\frac{1}{R_D(1+1/g_mR_D)C_\mu}$
  • 커패시턴스 증가로 C값이 증가하여 pole주파수가 감소하는 효과

• ex. Common Base
  

  

  • Miller Effect에 의한 $C_\mu,\ C_\pi$는 소신호 해석에서 $V_C$가 그라운드이므로 Miller effect 영향을 받지 않음

• ex. Cascode
  

  

  • Q1 : Base 전압이 소신호 해석에서 그라운드되므로 Miller effect 없음
  • Q2 : $C_\pi$는 그라운드이므로 Miller effect 없음,
    노드 X-Y 해석시 Q1은 $1/g_{m1}$로 해석되므로, Gain $|Y/X|=-\frac{g_{m2}}{g_{m1}}$가 되어 Gain이 거의 증폭되지 않아 Miller effect는 거의 일어나지 않음

• Emitter Follower

  • $C_\mu$는 소신호 해석에서 그라운드이므로 Miller effect 없음
  • $C_\pi$는 Emitter Follower Gain이 거의 1이므로 Miller effect가 거의 없음