[반도체공학] 5.3. Qualititative Solution

3. Quantitative Solution

1. Electrostatics: Assumptions & Definitions

• 가정
  

  

  • 1차원, 평면 접합 부분만을 두고 계산
  • Ohmic Contact - 반도체 사이는 매우 작은 저항값을 갖는 linear한 I-V 특성을 갖고 있음
  • metallurgical junction을 x=0인 좌표로 설정
  • $V_A$ : p - n 사이에 인가된 전압 - built-in potential은 $V_A$와 반대방향

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2. Electrostatics of a Step Junction in Equilibrium

• $V_A=0$일 때 Step Junction Electrostatics

  • Electric Field

    • $\rho(x)\simeq\begin{cases} -qN_A : -x_p\leq x<0\\ qN_D : 0\leq x\leq x_n \end{cases}$, $qN_Ax_p=qN_Dx_n$
    • $\frac{dE(x)}{dx}=\frac{\rho(x)}{\epsilon_0\epsilon_s}\simeq\begin{cases} -qN_A/\epsilon_0\epsilon_s : -x_p\leq x<0\\ qN_D/\epsilon_0\epsilon_s : 0\leq x\leq x_n \end{cases}$
      
      $\rarr E(x)\simeq\begin{cases} -qN_A[x_p+x]/\epsilon_0\epsilon_s : -x_p\leq x<0\\ qN_D[x_n-x]/\epsilon_0\epsilon_s : 0\leq x\leq x_n \end{cases}$
    • Boundary Condition : $E(-x_p)=E(x_n)=0$

  • Step Junction Electric Potential

    • $-\frac{dV(x)}{dx}=E(x)\simeq\begin{cases} -qN_A[x_p+x]/\epsilon_0\epsilon_s : -x_p\leq x<0\\ qN_D[x_n-x]/\epsilon_0\epsilon_s : 0\leq x < x_n \end{cases}$
      
      $\rarr V(x)\simeq\begin{cases} -qN_A[x_p+x]^2/2\epsilon_0\epsilon_s : -x_p\leq x<0\\ V_{BI}-qN_D[x_n-x]^2/2\epsilon_0\epsilon_s : 0\leq x< x_n\\ V_{BI} : x\geq x_n \end{cases}$
    • Boundary Condition : $V(-x_p)=0,\ V(x_n)=V_{BI}$

  • Depletion Region

    • $V_{BI}=\frac{qN_A}{2\epsilon_0\epsilon_s}x_p^2+\frac{qN_D}{2\epsilon_0\epsilon_s}x_n^2$
    • 연속 조건에 의해 $N_Ax_p=N_Dx_n$이므로
      $V_{BI}=\frac{q}{2\epsilon_0\epsilon_s}[N_A+\frac{N_A^2}{N_D}]x_p^2=\frac{qN_A}{2\epsilon_0\epsilon_s}[\frac{N_D+N_A}{N_D}]x_p^2$
    • $x_p=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_D}{N_A[N_A+N_D]}V_{BI}}$
    • $x_n=\frac{N_A}{N_D}x_p=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_A}{N_D[N_A+N_D]}V_{BI}}$
    • $W=x_p+x_n=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_A+N_D}{N_AN_D}V_{BI}}$

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3. Electrostatics of a Step Junction with $V_A\not ={0}$

• 다이오드에 Bias $V_A$가 인가된 경우
  • p, n, 양 단자에서는 전압 강하가 거의 없음
  • depletion region에서 대부분 전압 강하 $V_A$가 일어남
• $V_{BI}-V_A=\frac{qN_A}{2\epsilon_0\epsilon_s}x_p^2+\frac{qN_D}{2\epsilon_0\epsilon_s}x_n^2$
  • $V_{BI}\simeq\frac{kT}{q}ln(\frac{N_AN_D}{n_i^2})$
• $-x_p<x\leq0$에서
  • $E(x)= -\frac{qN_A}{\epsilon_0\epsilon_s}(x_p+x)$
  • $V(x)=\frac{qN_A}{2\epsilon_0\epsilon_s}(x_p+x)^2$
  • $x_p=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_D}{N_A[N_A+N_D]}[V_{BI-V_A]}}$
• $0<x\leq x_n$에서
  • $E(x)= -\frac{qN_D}{\epsilon_0\epsilon_s}(x_n-x)$
  • $V(x)=[V_{BI}-V_A]-\frac{qN_D}{2\epsilon_0\epsilon_s}(x_n-x)^2$
  • $x_p=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_A}{N_D[N_A+N_D]}[V_{BI-V_A]}}$
• $W=x_p+x_n=\sqrt{\frac{2\epsilon_0\epsilon_s}{q}\frac{N_A+N_D}{N_AN_D}[V_{BI}-V_A]}$

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• Voltage Dependence
  • Depletion Width, Electric Field : $\sqrt{V_{BI}-V_A}$에 비례
  • Electrostatic Potential : $V_{BI}-V_A$에 비례
  • Energy Band Diagram
    • $V_A=0$ (Equilibrium) : 모든 영역에서 페르미 준위 동일 ($np=n_i^2$)
      

      

    • $V_A>0$ (Forward Bias) : $F_N>F_P$, $F_N-F_P=qV_A$, 접점 근처에서 $np>n_i^2$
      

      

    • $V_A<0$ (Reverse Bias) : $F_N<F_P$, $F_N-F_P=qV_A$, 접점 근처에서 $np<n_i^2$
      

      

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4. Electrostatics of a Linearly Graded Junction

• Metallurgical Junction 근처에서 농도 $N_A-N_D$가 선형으로 증가
• 가정
  • depletion region 밖의 전계는 0, 전위는 일정
  • $V_{BI}=\frac{kT}{q}ln[\frac{p(-x_p)n(x_n)}{n_i^2}]$
• Electrostatics
  

  

  • $\rho(x)=qax=q[N_D(x)-N_A(x)]\ (-W/2\leq x\leq W/2)$
  • $E(x)=\frac{qa}{2\epsilon_0\epsilon_s}[x^2-(\frac{W}{2})^2]\ (-W/2\leq x\leq W/2)$
    • $E(0)\simeq-\frac{qaW^2}{8\epsilon_0\epsilon_s}$
  • $V(x)=\begin{cases} \frac{qa}{6\epsilon_0\epsilon_s}[2(\frac{W}{2})^3+3(\frac{W}{2})^2x-x^3]\ (-W/2\leq x\leq W/2)\\ \frac{qa}{12\epsilon_0\epsilon_s}W^3\ (x>W) \end{cases}$
  • Bias가 없을 때 $V_{BI}=\frac{qa}{12\epsilon_0\epsilon_s}W_0^3$
    • $V_{BI}=\frac{kT}{q}ln[\frac{p(-W_0/2)n(W_0/2)}{n_i^2}]\simeq\frac{kT}{q}ln[\frac{a^2W_0^2}{4n_i^2}]$