[반도체공학] 5.2. PN Junction Electrostatics

2. pn junction Electrostatics

1. General Introduction: Poisson’s Equation

• pn junction : special case of non-uniform doping
  

  

  • P/N 영역에서는 각각 균일하게 도핑되어있지만, 접합된 전체 반도체는 불균일한 상태
  • Non-uniform doping : Carrier Diffusion, space charge, built-in electric field(potential), band-bending
  • Poisson's Equation : space charge와 내부 전계(전위) 사이의 관계식
    • $\nabla\cdot E=\frac{\rho(x,y,z)}{\epsilon_0K_S}=-\nabla^2V(x,y,z)$

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• 1차원 푸아송 방정식
  • $\frac{d}{dx}E(x)=-\frac{d^2}{dx^2}V(x)=\frac{\rho(x)}{\epsilon_0\epsilon_r}$
  • $\rho(x)=q[p(x)-n(x)+N_D(x)-N_A(x)]$ (full-ionization 가정)
  • $V=-E_i/q$이므로
    $\frac{\epsilon_0\epsilon_r}{q}\frac{d^2}{dx^2}E_i(x)=q[n_iexp[(E_i(x)-E_F)/kT]-n_iexp[(E_F-E_i(x))/kT]+N_D(x)-N_A(x)]$
    • uniform doping을 가정해도 식이 매우 nonlinear하므로 해를 구하기가 어려움
• Band Bending
  

  

  • N/P 도핑은 각각 uniform하지만, 불균일에 의해 비선형으로 분포

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2. Major Features Conjecturable

• Metallurgical junction에서 멀리 떨어진 영역은 원래의 uniform doping 상태를 유지한다.
• 페르미 준위는 상수이다 (g=r, $J_N=J_P=0$)
• Metallurgical junction 근처에서 band bending과 space charge를 관찰할 수 있다.
• space charge의 크기 :
  $\begin{cases} q(p-n-N_A)\simeq-qN_A\ (@p-region)\\ q(p-n+N_D)\simeq qN_D\ (@n-region) \end{cases}$
  • 접합 근처에서 $p\simeq n\simeq n_i <<N_A(N_D)$
• $J_P=J_N=0$
  • p, n에 의한 built-in electric field의 크기는 같고, 캐리어 양에 비례한다.
  • $E(x)=\frac{kT}{q}\frac{1}{p(x)}\frac{dp(x)}{dx}=-\frac{kT}{q}\frac{1}{n(x)}\frac{dn(x)}{dx}$
• 전하량 보존 법칙 : p-region과 n-region에 형성된 전하량의 총량은 동일

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3. Equilibrium Energy Band Diagram

• p/n-type 반도체는 각각 uniform하게 도핑된 상태로 접합
  

  

• Metallurgical junction에서 멀리 떨어진 영역은 원래의 uniform doping 상태를 유지한다.
  

  

• 두 반도체가 접합했을 때, 페르미 준위는 일정
  

  

  • 이 조건을 만족하기 위해서 접합 시 p-type 반도체의 준위는 n-type 대비 높아지게 됨 ( n-type반도체의 준위가 p-type 대비 낮아지게 됨 )
• 접합 후 energy band는 연속적으로 변화하는 형태로 나타남
  

  

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4. Built-in Potential

• built-in potential : n/p-type의 $E_C(E_V, E_i)$차이만큼 나타남
  • $[E_F-E_i]_n=kTln(\frac{n_{n0}}{n_i})\simeq kTln(\frac{N_D}{n_i})$
  • $[E_i-E_F]_p=kTln(\frac{p_{p0}}{n_i})\simeq kTln(\frac{N_A}{n_i})$
  • built-in potential $qV_{BI}=kTln(\frac{n_{n0}}{n_i})+kTln(\frac{p_{p0}}{n_i})$
    $\simeq kTln(\frac{N_D}{n_i})+kTln(\frac{N_A}{n_i})\simeq kTln(\frac{N_AN_D}{n_i^2})$

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• Built-in electric field : $E(x)=-\frac{dV_(x)}{dx}$

  • $V_{BI}=-\int^{x_{cn}}_{-x_{cp}}E(x)dx=\int^{-x_{cp}}_{x_{cn}}dV=V(x_{cn})-V_(-x_{cp})$
    ( $x_{cn},\ x_{cp}$ : Bulk region )

  • equilibrium : $J_N=qn(x)\mu_n(x)E(x)+qD_N(x)\frac{dn(x)}{dx}=0$
    $E(x)=-\frac{D_N(x)}{\mu_n(x)}\frac{1}{n(x)}\frac{dn(x)}{dx}=-\frac{kT}{q}\frac{1}{n(x)}\frac{dn(x)}{dx}$

  • $V_{BI}=-\int^{x_{cn}}_{-x_{cp}}E(x)dx=\int^{x_{cn}}_{-x_{cp}}\frac{kT}{q}\frac{1}{n}\frac{dn}{dx}dx$
    $=\frac{kT}{q}\int^{x_{cn}}_{-x_{cp}}\frac{1}{n}dn=\frac{kT}{q}ln[\frac{n(x_{cn})}{n(-x_{cp})}]$

  • $n(x_{cn})\simeq N_D,\ n(-x_{cp})\simeq \frac{n_i^2}{N_A}$이므로
    $qV_{BI}=kTln[\frac{n_{n0}p_{p0}}{n_i^2}]\simeq kTln[\frac{N_DN_A}{n_i^2}]$

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• Metallurgical junction ($N_D-N_A=0$)과 Intrinsic point ($E_F-E_i=0$)은 p/n-type 반도체의 도핑 농도에 따라 달라질 수도 있다.

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5. Electrostatic Consideration

• non-uniform doping
  → concentration(potential) gradient
  → built-in electric field
  → drift/diffusion current, Charge Density
• $V(x)\propto -E_c(x)/q,-E_vx)/q,-E_i(x)/q$
• $E(x)=-\frac{dV(x)}{dx}=\frac{1}{q}\frac{dE_i(x)}{dx}$
• $\rho(x)=\frac{dD(x)}{dx}=\epsilon_0\epsilon_s\frac{dE(x)}{dx}=-\epsilon_0\epsilon_s\frac{d^2V(x)}{dx^2}$
  $=q[p(x)-n(x)+N_D(x)-N_A(x)]$
  • $p(x)=n_iexp[(E_i(x)-E_F)/kT]$
  • $n(x)=n_iexp[(E_F-E_i(x))/kT]$

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• space charge
  

  

  • n-type 반도체는 $D^+,\ e$ 캐리어를, p-type 반도체는 $A^-,\ h$ 캐리어를 보유
  • 두 반도체가 접하게 되면 전자와 정공은 서로 결합하여 사라짐
  • 남은 $D^+,\ A^-$가 depletion region의 space charge, built-in electric field 형성
  • 내부 전계의 drift current에 의해 전자, 정공의 diffusion current 상쇄

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6. Depletion Approximation

• 해를 구하기 위한 단순화
  • Grown step junction + space charge는 불연속적으로 변화함을 가정
  • $\rho(x)\simeq\begin{cases} 0 : x<-x_p\\ -qN_A : -x_p\leq x<0\\ qN_D : 0\leq x\leq x_n\\ 0 : x > x_n \end{cases}$
    

    

  • depletion region에서는 Intrinsic point로 향할수록 majority carrier는 감소하고, minority carrier는 증가
    • 즉 depletion region의 바깥 영역에서는 n, p가 같다는 가정이 성립하지 않음
    • 하지만 계산의 편의를 위해 단순화하여 $\rho(x)=-qN_A, qN_D$로 계산
• Diffusion Junction의 경우
  

  

  • $N_D-N_A$의 변화가 곡선으로 나타남
  • 계산의 편의를 위해 $\rho(x)=q[N_D(x)-N_A(x)]$로 가정 : step junction보다 부정확