3. Diffusion

1. Diffusion

• 입자 농도(화학적 포텐셜)의 기울기(Gradient)$\\$ + 열에너지, Scattering에 의한 Random Motion에 의해 발생
  • Random Motion : 고농도 / 저농도측 모두 입자가 랜덤한 양으로 이동$\\$경계를 통과하는 입자수는 고농도측 입자가 더 많음$\\$결과적으로 시간이 지나면 두 영역이 평형 상태가 됨
• 높은 농도에서 낮은 농도로 입자가 이동(재분배)
• 평형 상태가 될 때까지 이동
  • 반도체의 경우 Charged Particle에 의해 Diffusion이 끝나도 같은 농도가 아닐 수 있음

2. Diffusion Current

• Diffusion에 의한 입자 흐름
  • $\mathcal{F}=-D\nabla\eta$
  • diffusion flux = -(diffusion Coefficient)×Grad(Concentration)
  • $\nabla\eta$가 ( - ) : diffusion은 농도가 감소하는 쪽으로 발생
• 전자 diffusion current density : $J_{Ndiff}=qD_N\nabla n$
  • 전자 diffusion은 농도가 낮은 쪽으로 이동
  • 전자와 전류의 방향은 반대이므로 $J_{Ndiff}$는 ( + )
• 정공 diffusion current density : $J_{Pdiff}=-qD_P\nabla p$
  • hole diffusion은 농도가 낮은 쪽으로 이동
  • hole diffusion과 current 같은 방향이므로 $J_{Pdiff}$는 ( - )

• Total Current = Drift + Diffusion
  • hole : $J_P=J_{Pdrift}+J_{Pdiff}=qp\mu_pE-qD_P\nabla p$
  • electron : $J_N=J_{Ndrift}+J_{Ndiff}=qn\mu_nE+qD_N\nabla n$
  • $J=J_P+J_N$
• Drift Current는 전기적 포텐셜에 영향을 많이 받아 Majority Carrier의 영향을 크게 받지만$\\$Diffusion Current는 농도차의 영향을 받으므로 Major 뿐 아니라 Minority Carrier의 영향 역시 유의미하게 존재한다.

• Built-in Electric Field
  • 캐리어 농도가 불균일한 상태로 평형 상태가 되도록 하는 힘
  • $J_N=J_P=0$일 때 equilitbrium
  • equilibrium일 때 전류밀도의 식을 이용하면
    • electric field $E=\frac{D_p\nabla p}{\mu_pp}=-\frac{D_n\nabla n}{\mu_nn}$
    • equilibrium 상태여도 농도차의 항 $\nabla n,\ \nabla p$는 존재
    • uniform doping 인 경우 $\nabla n=\nabla p=0$, electric field=0
    • 불균일한 doping인 경우 $\nabla n,\ \nabla p\not =0\\$평형 상태에서 $J=0$이 되기 위해 built-in electric field가 존재하게 됨.

• Hot Point Probe Measurement

• 온도가 높은 probe와 낮은 probe 사이에 전류계를 연결
• hot probe 쪽의 입자가 더 활발하게 움직이는 점을 이용한 전류 측정
• p-type 입자가 더 많은 경우 전류가 ( - ), n-type입자가 더 많은 경우 ( + )

3. Energy Band Diagram

• 가로축 : x 방향
• 원점의 valance band를 $E_{ref}$로 가정
• reference energy를 기준으로
  • electron potential energy : $E_C(x)-E_{ref}$
  • hole potential energy : $E_{ref}-E_V(x)$
  • conduction band 초과치 : electron kinetic energy
  • valance band 초과치 : hole kinetic energy
  • total energy = kinetic + potential

• Electic potential $V_(x)=-\frac{1}{q}[E_C(x)-E_{ref}]$
  • $E_C$ 대신 $E_i,\ E_V$값이 들어갈 수 있음
  • heavy doping이 아닌 이상 $E_C,\ E_i,\ E_V$는 parallel
  • 이전 그림에서 $E_c(x)$는 x에 비례하여 감소하므로 전위는 증가
• Electric Field $E(x)=-\nabla V(x)=\frac{1}{q}\nabla E_C(x)$
  • 전위가 중간에 증가하고 양 끝단에서는 일정 값을 유지하므로 중간 지점에서 강하게 나타남
• Charge Density $\rho(x)=\nabla\cdot D(x)=\nabla\cdot[\epsilon E(x)]=-\epsilon\nabla^2V(x)$

• Equilibrium
  • 모든 순/역방향 캐리어 이동이 동등한 상태
  • 물리적 관측량은 변화가 없음
  • 일정한 fermi level : $\nabla E_F,dE_F(x)/dx=0$
  • Net current가 0 : $J_P+J_N=0$
  • Net carrier generation/recombination이 0 :$\\$ nondegenerate 반도체에서 $np=n_i^2$
  • 불균일 도핑의 경우 diffusion에 의한 전류를 drift 전류가 상쇄한다(built-in electric field)

4. Band Bending

• 불균일한 도핑이나 applied electric field는 nonzero electric field, chage imbalance를 유발
• nonzero electric field : potential 에너지의 기울기 존재, band banding 발생
  • electron/hole drift 전류가 존재
  • drift 전류 상쇄를 위한 diffusion current 존재
  • the law of detailed balance : equilibrium 상태에서$\\$ 총 electron/hole 전류는 0, 페르미 준위는 constant ($np=n_i^2$)
• equilibrium = 페르미 준위가 상수이고, 하나의 값을 갖는 상태
  • 상수 페르미 준위 = 전자/정공 전류는 0
  • 단일 페르미 준위 = 캐리어 생성/결합 비율이 동일

• non-uniformly doped semiconductor

• 이온화된 donor는 (+), 전자(n)은 (-) charge
  • 가운데는 donor가 더 많아 전하밀도가 (+), 양 끝은 전자가 많아 (-)
  • 전하밀도 $\rho$는 전계의 기울기이므로 기함수 형태의 전계 그래프가 형성

• $E_F$는 상수이고, 양 끝단에서는 $E_F-E_i$가 작고 중앙에서는 커지는 모양을 형성하여야 함
• $np=n_i^2$의 식을 만족하기 위해 $E_c, E_i$도 같은 모양을 형성

5. Einstein Relationship

• Constancy of Fermi level in Equilibrium
  • 임의 지점 1, 2에서의 fermi level을 $E_{F1},\ E_{F2}$로 가정
  • 이 지점에서의 온도를 $T_1, T_2$로 가정
  • 입자의 이동 비율 $r_{12}=R_0f(E_1)[1-f(E_2)]$, $r_{21}=R_0f(E_2)[1-f(E_1)]$
    • equilibrium일 때 $r_{12}=r_{21},\ f(E_1)=f(E_2)$
  • 모든 E에 대해 $E_{F1}=E_{F2},\ T_1=T_2$
  • 즉, $\nabla E_F=0$
• Detailed Balance
  • equilibrium 상태에서 $J_N=J_P=0,\ J=J_N+J_P=0$

• Einsetin Relationship

• diffusion current는 donor 농도가 높아지는 쪽으로 이동
• drift current는 Energy Band level이 높아지는 쪽으로 이동
• equilibrium 상태에서 $J_{Ndrift}+J_{Ndiff}=qn\mu_nE+qD_N\frac{dn}{dx}=0$
  • $E=\frac{1}{q}\nabla E_i(x)$ (electric field = intrinsic band level의 미분값)
  • $n=n_iexp[(E_F-E_i)/kT]$
  • $dn/dx=-\frac{n}{kT}[\frac{dE_F}{dx}-\frac{dE_ i}{dx}]$
  • $dE_F/dx=0$이므로 $dn/dx=-\frac{q}{kT}nE$
  • $\therefore J_N=qnE(\mu_n-\frac{qD_N}{kT})$
• 전자의 einstein relationship : $\frac{D_N}{mu_n}=\frac{kT}{q}$
• 정공의 einstein relationship : $\frac{D_P}{\mu_p}=\frac{kT}{q}$
• einsteint relationship : 물질 간의 관계 - equilibrium 여부와는 무관
• diffusion coefficient(by diffusion)와 mobility(by drift) 둘 다 scattering에 영향을 받기 때문에, 비례관계를 갖게 된다.

• Sequential Logic : 현재 출력이 과거 출력에 영향을 받음
• $O_{combinational} = f(input)$
• $O_{sequential} = f(input, O_{present})$

Bistable Elements

• clock signal
  • 전압이 공급되면 디지털 회로는 클락에 따라 움직임

    

  • high-low 시간을 합쳐 주기 period라고 함.
  • 주파수 = 1 / 주기
  • duty cycle = high / period (invert clock의 경우 low/period)

• Latch : 입력이 바뀌면 출력도 바뀜
• Flip-Flop : 클록이 바뀔 때 출력이 바뀜

Flip Flop

• 이하 모든 Flipflop 해석은 Clock Rising edge일 때 신호를 읽는 것으로 가정

• D flip-flop
  

  

  • (a) D flip-flop 내부 구조 : 2개 latch를 조합하여 사용
  • (b) truth table : D 신호에 따라 다음 신호를 결정, 그 외에는 현재 상태를 유지
  • (c) D flip-flop 회로 기호

• $t_{pLH} / t_{pHL}$

  • 신호가 low > high / high > low로 바뀌는 시간

• $t_{hold} / t_{setup}$

  • 클록이 바뀌기 후/전에 신호가 유지되어야 하는 시간
  • 이 시간 범위 내에 신호가 바뀌면 출력 신호가 불안정하게 된다.

• setup/hold time을 이용하여 D flip-flop의 최소 클록을 구할 수 있다.

• D flip flop with PR and CLR

  • Clock과 무관하게 PR(preset) 입력 시 on
  • CLR(clear) 입력 시 off

• D flip flop with enable : enable이 입력될 때만 flip flop이 동작, 이외에는 이전 신호를 그대로 유지

• S-R Flip Flop
  

  

  • S(set)=1 : Q = 1
  • R(Reset)=1 : Q=0
  • S, R이 모두 0 : 이전 신호 유지
  • S, R이 모두 1 : not allowed(신호 불안정)
  • scan flip-flop
    

    

    • 데이터 입력 외에 test용 enable, input이 별도로 존재
    • test enable이 high가 되면 data 대신 test input의 데이터가 입력으로 들어간다.

• J-K flip flop
  

  

  • S-R flip flop에서의 단점을 보완
  • J가 Set, K가 reset 역할
  • J,K가 모두 high가 되면 출력을 반전

• T(toggle) flip-flop
  

  

  • T에 on 입력 시 출력이 반전
  • T off일때는 출력 유지
  • J-K flip flop의 J, K단자를 연결한 것과 같은 동작

Clocked Synchronous State-Machine Analysis and Design

• state machine = sequential circuit(순차회로)
• clocked : flip-flop에서 클록 입력
• synchronous : 클록이 변화할 때 상태가 변화 / 모든 flip-flop은 같은 clock signal에 따라 변화

• Mealy machine
  

  

  • F(combinational logic)로 n개의 flip-flop으로 구성된 상태 메모리의 입력을 정의
  • F(next-state-logic)과 G(output logic)는 현재 상태와 입력의 조합으로 구성

• Moore machine
  

  

  • Mealy와 다르게 출력은 현재 상태만으로 구성
  • next-state는 현재 상태와 입력의 조합으로 구성

• Characteristic Eq.

  • 입력과 현재 상태 Q(t)로 직후의 상태 $Q(t+\epsilon)$를 표현하는 논리식
  • ex. S-R FF

    

  • 위 식을 단순화하면 Q*=S + R`Q의 식으로 나타난다.

• Transition Eq.

  • Excitation Eq. : 입력 단자의 논리식
  • Characteristic Eq. : state memory의 다음 상태를 정의
  • Transition Eq. : excitation eq.를 이용하여 다음 상태를 정의
  • output Eq. : 시스템의 출력

• state machine
  

  

  • 상태표를 그림의 형태로 표현
  • mealy machine
    • 다음 상태와 출력이 현재 상태와 입력의 조합으로 구성
    • circle에는 현재 상태, 화살표는 입력의 변화를 표시
    • 입력이 변화할 때 출력과 상태가 모두 변하므로, 화살표에 입/출력을 모두 표기한다.
  • moore machine
    • 출력은 현재 상태로, 다음 상태는 입력과 현재 상태의 조합으로 구성
    • circle 안에 출력이 표시되며, 화살표에는 입력의 변화만 나타난다.

Clocked synchronous state-machine design

• Design example
  • 입력 A, B, 출력 Z를 갖는클록 동기화 machine를 설계
  • 다음의 경우 Z=1:
    • A가 2개 tick동안 같은 값을 유지하는 경우
    • 위 조건을 만족한 이후 B가 1을 유지하는 경우
  • 그 외 Z=0

    

  • 위 조건을 기준으로 하는 state table 작성

    

    • INIT : 초기 상태
    • A0(A1) : 이전에 0(1)이 입력된 경우
    • OK0(OK1) : 이전에 0(1)이 두번 입력된 경우
  • State Assignment
    • 1-bit = 1-flip flop
    • 상태의 개수 = m이라고 할 때 최소 flip flop # = $\lceil log_2m\rceil$
    • 주어지는 조건의 영향을 많이 받게 됨
      • D-flipflop을 쓸 것인지/J-K flipflop을 쓸 것인지
      • SOP/POS 표현 중 어떻게 나타낼 것인지

1. Expectation

• 주어진 랜덤 변수에 대한 평균값

• $E[X]=\overline{X}=\begin{cases} \int xf_X(x)dx (continuous\ R.V.)\\ \sum_{i=1}^\infty x_iP(x_i) (discrete\ R.V.) \end{cases}$

  • ex. 주사위 던지기
    • $E[X]=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=3.5$
  • ex2. 가우시안 분포
    • $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$
    • $E[X]=\int^\infty_{-\infty}\frac{x}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})dx$
    • (치환적분 $t=x-\mu$) $=\int^\infty_{-\infty}\frac{t+\mu}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\frac{t^2}{2\sigma^2})dt$
    • $(\because\int^\infty_{-\infty}t\ exp(-t^2)dt=0)\ \mu\int^\infty_{-\infty}\frac{exp(-\frac{t^2}{2\sigma^2})}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}dt$ - 평균 0, 분산$\sigma^2$인 가우시안 분포
    • $\therefore E[X]=\mu$

• 랜덤변수 X, Y / 상수값 c에 대해

  • $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$
  • $E[cX]=cE[X]$

• 조건부 기댓값

  • $E[X|B]=\int^\infty_{-\infty}xf_X(x|B)dx$

• Moment
  • 확률분포 상의 통계량에 대한 일반화
  • $m_n=E[X^n]=\int^\infty_{-\infty}x^nf_X(x)dx$
  • $m_1=E[X]$ : 평균값
  • 분산 $E[(X-m_1)^2]$
    $=E[X^2-2m_1X+m_1^2] = E[X^2]-(E[X])^2$
    $\therefore m_2=E[X^2]=Var(X)+(E[X])^2$
• Central Moment
  • X의 평균에 대한 moment
  • $\mu_n=E[(X-\overline{X})^n]=\int^\infty_{-\infty}(x-\overline{X})f_X(x)dx$
  • $\mu_0=1, \mu_1=0$
  • $\mu_2=E[(X-\overline{X})^2]$ : 분산
  • 왜도(skewness) : $\mu_3/\sigma_3^3$
  • 첨도(kurtosis) : $(mu_4/\sigma_4^4) - 3$

2. Inequality

• chebychev's Inequality

  • $P(|X-\overline{X}|\geq\epsilon)\leq\frac{\sigma_X^2}{\epsilon^2}(\epsilon\geq0)$
  • 평균 주변의 일정 범위 ($\epsilon$) 바깥에 위치할 확률은 표준편차에 비례

• Markov's Inequality

  • $a>0, X\geq0$일 때
  • $P(X\geq a)\leq\frac{E[X]]}{a}$

3. Characteristic Function

• $\Phi_X(w)\equiv E[e^{jwX}]=\int^\infty_{-\infty}f_X(x)e^{jwx}dx$
• (inverse) $f_X(x)=\frac{1}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}\Phi_X(w)e^{-jwx}dw$
• moment $m_n=(-j)^n\frac{d^n\Phi_X(w)}{dw^n}|_{w=0}$
• $|\Phi_X(w)|\leq\Phi_X(0)=1$

Moment Generating Function

• $M_X(v)\equiv E[e^{vX}]=\int^\infty_{-\infty}f_X(x)e^{vx}dx$
• moment $m_n=\frac{d^nM_X(v)}{dv^n}|_{v=0}$
• X가 평균 $\mu$, 분산 $\sigma^2$을 갖는 정규분포일 때
  $M_X(v)=e^{\mu v+\frac{1}{2}\sigma^2v^2}$
• Chernoff Inequality : $P(X\geq a)\leq e^{-va}M_X(v)$

4. Transformations of R.V.

• Monotonic Transformation of R.V.

  

  • $Y=T(X)$는 랜덤변수
  • $f_X\not ={0}$인 경우 T는 연속적이며 미분 가능
  • T는 단조함수(monotonic) - 계속해서 증가 or 감소
  • Y의 pdf $f_Y(y)=f_X(x)|\frac{dx}{dy}|=\frac{f_X(x)}{T'(x)}$
    • ex. x : uniform dist, y : $\sqrt{x}$일 때
      • $f_Y(y)=f_X(x)/|\frac{dy}{dx}|=2\sqrt{x}f_X(x)=2yf_X(x)=2y$
  • 랜덤변수 X가 가우시안 분포, Y=aX + b의 형태가 되면 랜덤변수 Y 역시 가우시안 분포이다.
    • 평균 = $a\mu_x + b$
    • 분산 $\sigma_Y^2=a^2\sigma_X^2$
• Non-Monotonic Transformation of R.V.
  • 랜덤변수 Y의 함수 T가 monotonic하지 않은 경우
  • ex. $f_X(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$
    • $F_Y(y_0) = P(Y\leq y_0) = P(X\leq x_1) + P(x_2\leq X\leq x_3)\\ = F_X(x_1)+[F_X(x_3)-F_X(x_2)]$
    • $f_Y(y)=f_X(x_1)|\frac{dx_1}{dy}|+f_X(x_1)|\frac{dx_1}{dy}|+[f_X(x_3)|\frac{dx_3}{dy}|-f_X(x_2)|\frac{dx_2}{dy}|]$

2. Dynamic Models

• 컨트롤러 설계 전에 구하는 시스템 제어를 위한 시스템의 수학적 표현식
• 시스템의 동작을 나타내는 미분방정식
• 기계적 시스템, 전기회로, 전기적(electromechanical) 시스템

2.1. Dynamics of Mechanical Systems

• 뉴턴의 법칙 - translational motion $\vec{F}=m\vec{a}$
• $\vec{F}$ : 질량에 가해지는 힘의 벡터합
• $\vec{a}$ : 질량에 가해지는 관성 가속도
• $m$ : 질량
• $1N = 1kg\cdot m/sec^2$
• ex 1. Cruise-control model
  • 자동차는 수평 방향으로 이동한다고 가정
  • 바퀴의 회전관성은 무시
  • 자동차-지면 사이의 마찰력은 속도에 비례

    

  • $u-bx`=mx``$
  • (구하려는 값은 속도$x`\coloneqq v$)$v`+\frac{b}{m}v=\frac{u}{m}$
  • (라플라스 변환)$sV(s)+\frac{b}{m}V(s)=\frac{U(s)}{m}$
  • $\frac{V(s)}{U(S)}=\frac{1/m}{s+b/m}$
• ex 2. suspension system
  • 서스펜션은 오직 1차원 수직운동을 한다.
  • 자동차 바퀴에는 무게가 균등하게 분산된다.

    

  • $m_1$ : 타이어의 무게 / $m_2$ : 자동차 무게의 1/4
  • x : 타이어의 변위 / y : 차체의 변위 / r : 높이의 변화
  • k : 용수철의 탄성계수 / b : 댐퍼 계수
  • 변위에 따른 응답을 계산하므로 중력가속도에 의한 힘 $m_1g,\ m_2g$는 상쇄되어 사라진다.
  • 정해진 상황(ex. m2는 멈춘 채로 m1만 위로 움직인다)에 대한 differential eq.를 구하더라도 그 식은 시스템 내의 고유한 응답을 나타내는 식이기 때문에 다른 상황에 대해서도 성립할 수 있게 된다.
  1. $m_1$만 움직이는 경우
     • 아래 스프링 $k_w$는 늘어나고, 위 스프링 $k_s$는 압축된다.
     • 지변 변위를 고려하면 아래로 가해지는 힘은 $k_w(x-r)$
     • 위 스프링의 경우 $m_2$가 y방향으로 이동할 것을 고려하면 스프링의 힘은 $k_s(y-x)$ (x, y 둘다 지면 변위의 영향을 받으므로 식에서는 상쇄된다.)
     • 댐퍼 역시 y방향 변위를 고려하면 $b(y'-x')$
  2. $m_2$만 움직이는 경우
     • 스프링에 의한 힘 $k_s(y-x)$
     • 댐퍼에 의한 힘 $b(y`-x`)$
  3. 입력 : 높이 변위 r / 출력 : 자동차의 높이 변화 y
     • i. $b(y'-x')+k_s(y-x)-k_w(y-x)=m_1x``$
     • ii. $-[b(y`-x`)+k_s(y-x)]=m_2y``$
     • ii를 x에 대해 정리 후 i에 대입하면 $\LARGE{\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{k_w(sb+k_s)/m_1m_2}{s^4+b(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2})s^3+(\frac{k_s}{m_1}+\frac{k_w}{m_1}+\frac{k_s}{m_2})s^2+\frac{k_wb}{m_1m_2}s+\frac{k_wk_s}{m_1m_2}}}$
• 회전운동에 대한 뉴턴운동의 법칙
  • $M=I\alpha$
  • M : 회전 중심에 대한 모멘트의 합
  • I : 무게중심에 대한 회전관성모멘트 ($I=ml^2$)
  • $\alpha$ : 각가속도
  • ex. Pendulum

    

  • 운동방정식 $T_C-mglsin\theta=I\theta''$
  • $\theta''+\frac{g}{l}sin\theta=\frac{T_C}{ml^2}$
  • 작은 운동에 대해서 $sin\theta\simeq\theta$
  • Transfer Eq. $\frac{\Theta(s)}{T_C(s)}=\frac{1/ml^2}{s^2+g/l}$
• 실험 오차

  

  • 펜듈럼 모델을 Matlab으로 실험하여 보면 정현파 형태로 나타나는 것을 확인 가능하다.
  • 계산 편의상 단순화한 부분들에 대해 오차가 발생하기 때문에 실제 실험 결과와는 차이가 발생할 수밖에 없다.
• ex. 회전 운동과 직선 운동의 조합

  

  • 질량 $m_t, m_p$인 크레인과 펜듈럼이 각각 직선/회전운동
  • 힘 $\mu$가 가해지며, 차량은 x방향으로 이동
  1. 회전운동
  • 중력에 의해 지면 방향으로의 회전운동이 발생 : $-m_pglsin\theta$
  • 크레인의 직선운동에 의한 펜듈럼의 관성 : $m_px''cos\theta$
  • $\therefore (I+m_pl^2)\theta''=-(m_px''cos\theta + m_pglsin\theta)$
  2. 직선운동
     • 작용-반작용 N과 마찰계수 b를 고려
     • $u-N-bx'=m_tx''$
     • 펜듈럼에 의한 반작용
       • 펜듈럼 운동 $m_px''$
       • 회전 운동 $m_pl\theta''cos\theta$
       • 구심력 $\frac{mv^2}{r}=m_pl(\theta')^2sin\theta$
       • $N=m_px''+m_pl\theta''cos\theta-m_pl(\theta')^2sin\theta$
  • simplify : $b = 0, \theta\simeq0 \rArr sin\theta = \theta, cos\theta = 1$
    • 회전운동 : $-m_plx''-m_pgl\theta=(I+m_pl^2)\theta''$
    • 직선운동 : $(m_t+m_p)x''+m_pl\theta''=u$
  • 라플라스 변환
    • 회전운동 : $-s^2m_plX(s)-m_pgl\Theta(s)=s^2(I+m_pl^2)\Theta(s)$
    • 직선운동 : $s^2(m_t+m_p)X(s)+s ^2m_pl\Theta(s)=U(s)$
  • 회전운동의 식을 $X(s)$에 대해 정리 후 직선운동에 대입하면
  • $\frac{\Theta(s)}{U(s)}=\frac{-m_pl}{ ((l+m_pl^2)(m_t+m_p)-m_p^2l^2))s^2+m_pgl(m_t+m_p)}$
  • 전달함수의 단점 : 단일 입력-단일 출력(SISO)에 대한 수식 모델 설계 가능

• 정리
  1. 대상 시스템의 dynamic behavior 단순화
  2. free-body diagram
  3. 뉴턴의 법칙 / 회전운동 / 전자회로 등을 이용한 미분방정식
  4. 초기값 = 0인 조건 하에 Laplace Transform
  5. Transfer function = 출력 / 입력