[자동제어] 2. Dynamic Models

2. Dynamic Models

• 컨트롤러 설계 전에 구하는 시스템 제어를 위한 시스템의 수학적 표현식
• 시스템의 동작을 나타내는 미분방정식
• 기계적 시스템, 전기회로, 전기적(electromechanical) 시스템

2.1. Dynamics of Mechanical Systems

• 뉴턴의 법칙 - translational motion $\vec{F}=m\vec{a}$
• $\vec{F}$ : 질량에 가해지는 힘의 벡터합
• $\vec{a}$ : 질량에 가해지는 관성 가속도
• $m$ : 질량
• $1N = 1kg\cdot m/sec^2$
• ex 1. Cruise-control model
  • 자동차는 수평 방향으로 이동한다고 가정
  • 바퀴의 회전관성은 무시
  • 자동차-지면 사이의 마찰력은 속도에 비례

    

  • $u-bx`=mx``$
  • (구하려는 값은 속도$x`\coloneqq v$)$v`+\frac{b}{m}v=\frac{u}{m}$
  • (라플라스 변환)$sV(s)+\frac{b}{m}V(s)=\frac{U(s)}{m}$
  • $\frac{V(s)}{U(S)}=\frac{1/m}{s+b/m}$
• ex 2. suspension system
  • 서스펜션은 오직 1차원 수직운동을 한다.
  • 자동차 바퀴에는 무게가 균등하게 분산된다.

    

  • $m_1$ : 타이어의 무게 / $m_2$ : 자동차 무게의 1/4
  • x : 타이어의 변위 / y : 차체의 변위 / r : 높이의 변화
  • k : 용수철의 탄성계수 / b : 댐퍼 계수
  • 변위에 따른 응답을 계산하므로 중력가속도에 의한 힘 $m_1g,\ m_2g$는 상쇄되어 사라진다.
  • 정해진 상황(ex. m2는 멈춘 채로 m1만 위로 움직인다)에 대한 differential eq.를 구하더라도 그 식은 시스템 내의 고유한 응답을 나타내는 식이기 때문에 다른 상황에 대해서도 성립할 수 있게 된다.
  1. $m_1$만 움직이는 경우
     • 아래 스프링 $k_w$는 늘어나고, 위 스프링 $k_s$는 압축된다.
     • 지변 변위를 고려하면 아래로 가해지는 힘은 $k_w(x-r)$
     • 위 스프링의 경우 $m_2$가 y방향으로 이동할 것을 고려하면 스프링의 힘은 $k_s(y-x)$ (x, y 둘다 지면 변위의 영향을 받으므로 식에서는 상쇄된다.)
     • 댐퍼 역시 y방향 변위를 고려하면 $b(y'-x')$
  2. $m_2$만 움직이는 경우
     • 스프링에 의한 힘 $k_s(y-x)$
     • 댐퍼에 의한 힘 $b(y`-x`)$
  3. 입력 : 높이 변위 r / 출력 : 자동차의 높이 변화 y
     • i. $b(y'-x')+k_s(y-x)-k_w(y-x)=m_1x``$
     • ii. $-[b(y`-x`)+k_s(y-x)]=m_2y``$
     • ii를 x에 대해 정리 후 i에 대입하면 $\LARGE{\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{k_w(sb+k_s)/m_1m_2}{s^4+b(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2})s^3+(\frac{k_s}{m_1}+\frac{k_w}{m_1}+\frac{k_s}{m_2})s^2+\frac{k_wb}{m_1m_2}s+\frac{k_wk_s}{m_1m_2}}}$
• 회전운동에 대한 뉴턴운동의 법칙
  • $M=I\alpha$
  • M : 회전 중심에 대한 모멘트의 합
  • I : 무게중심에 대한 회전관성모멘트 ($I=ml^2$)
  • $\alpha$ : 각가속도
  • ex. Pendulum

    

  • 운동방정식 $T_C-mglsin\theta=I\theta''$
  • $\theta''+\frac{g}{l}sin\theta=\frac{T_C}{ml^2}$
  • 작은 운동에 대해서 $sin\theta\simeq\theta$
  • Transfer Eq. $\frac{\Theta(s)}{T_C(s)}=\frac{1/ml^2}{s^2+g/l}$
• 실험 오차

  

  • 펜듈럼 모델을 Matlab으로 실험하여 보면 정현파 형태로 나타나는 것을 확인 가능하다.
  • 계산 편의상 단순화한 부분들에 대해 오차가 발생하기 때문에 실제 실험 결과와는 차이가 발생할 수밖에 없다.
• ex. 회전 운동과 직선 운동의 조합

  

  • 질량 $m_t, m_p$인 크레인과 펜듈럼이 각각 직선/회전운동
  • 힘 $\mu$가 가해지며, 차량은 x방향으로 이동
  1. 회전운동
  • 중력에 의해 지면 방향으로의 회전운동이 발생 : $-m_pglsin\theta$
  • 크레인의 직선운동에 의한 펜듈럼의 관성 : $m_px''cos\theta$
  • $\therefore (I+m_pl^2)\theta''=-(m_px''cos\theta + m_pglsin\theta)$
  2. 직선운동
     • 작용-반작용 N과 마찰계수 b를 고려
     • $u-N-bx'=m_tx''$
     • 펜듈럼에 의한 반작용
       • 펜듈럼 운동 $m_px''$
       • 회전 운동 $m_pl\theta''cos\theta$
       • 구심력 $\frac{mv^2}{r}=m_pl(\theta')^2sin\theta$
       • $N=m_px''+m_pl\theta''cos\theta-m_pl(\theta')^2sin\theta$
  • simplify : $b = 0, \theta\simeq0 \rArr sin\theta = \theta, cos\theta = 1$
    • 회전운동 : $-m_plx''-m_pgl\theta=(I+m_pl^2)\theta''$
    • 직선운동 : $(m_t+m_p)x''+m_pl\theta''=u$
  • 라플라스 변환
    • 회전운동 : $-s^2m_plX(s)-m_pgl\Theta(s)=s^2(I+m_pl^2)\Theta(s)$
    • 직선운동 : $s^2(m_t+m_p)X(s)+s ^2m_pl\Theta(s)=U(s)$
  • 회전운동의 식을 $X(s)$에 대해 정리 후 직선운동에 대입하면
  • $\frac{\Theta(s)}{U(s)}=\frac{-m_pl}{ ((l+m_pl^2)(m_t+m_p)-m_p^2l^2))s^2+m_pgl(m_t+m_p)}$
  • 전달함수의 단점 : 단일 입력-단일 출력(SISO)에 대한 수식 모델 설계 가능

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• 정리
  1. 대상 시스템의 dynamic behavior 단순화
  2. free-body diagram
  3. 뉴턴의 법칙 / 회전운동 / 전자회로 등을 이용한 미분방정식
  4. 초기값 = 0인 조건 하에 Laplace Transform
  5. Transfer function = 출력 / 입력