IOT 기기의 센서

• 센서는 인터넷에 연결되어 있어야 데이터 전송 가능
  • 센서 : 환경의 물리적인 값을 전기적 신호로 변환
  • 컨트롤러와 연결되기 위해서는 유/무선 인터넷 필요
• 컨트롤러의 역할
  • 센서의 데이터를 네트워크로 연결
  • 다른 컴퓨터로 전송하여 분석하도록 함
  • 의사결정의 역할
• 액추에이터 : 물리적 조작 역할
• 센서(정보) > 컨트롤러(판단) > 액추에이터(동작)
• IoT 기기는 저전력으로 센서의 가용성(시간)의 최적화, 최대화 필요

IoT기기의 핵심기술

• 저전력 네트워킹 : 저전력을 사용하는 통신기술
• 센서 데이터 최적화 및 관리 : 데이터의 경로 설정, 흐름 제어
• 저전력 임베디드 OS : 제한된 메모리의 HW에서 데이터 수집, 전송을 효율적으로 관리
• 전력 공급 및 저장 : 다양한 IoT 기기에 따른 고밀도 배터리, 무선 충전 기술
• 저가, 저전력 프로세서 : 단말기의 빠른 확산을 위한 가격 절감 필요

IoT기기의 데이터전송

• gateway 또는 서버에 접속하여 데이터 통신
• https, https 프로토콜을 이용하여 기기 간 통신 및 GUI 환경에서 기기 제어

IoT 시스템의 요소

• 특히 보안이 중요한 요소
• KISA의 경우 IOT 보안을 5가지 요소로 분류하여 인증
  • 인증 :사용자 인증, 인증정보의 안전한 사용, 제품인증
  • 암호 :안전한 암호 알고리즘 사용, 안전한 키 관리, 안전한 난수 생성
  • 데이터보호 : 전송·저장 데이터 보호, 정보흐름 통제, 안전한 세션관리, 개인정보 보호
  • 플랫폼보호 : 소프트웨어 보안, 안전한 업데이트, 보안 관리, 감사기록, 타임스탬프
  • 물리적보호 : 물리적 인터페이스 보호, 무단조작 방어

패킷트레이서 실습 : IOT 장치 연결

• 배터리, 기압계, LED, RFID, 전력계, 자동차, 태양광 패널 등 다수의 장치 지원
• 각 IOE 기기는 기본적으로는 유선 랜카드로 연결
  • advanced 설정을 통해 무선 혹은 이동통신(3G, 4G)로 연결되도록 변경 가능(W)
  • -CFE : 유선, -W : 무선, -3G/4G : 이동통신
    

    

• Gateway를 통한 무선연결
  

  

  • 패킷트레이서에서 무선연결은 기본적으로 자동 연결
  • 무선 연결이 안되는 경우 SSID 확인 (Gateway - device 간 SSID가 서로 일치하여야 함)

현대 인터넷 비즈니스

• OSI 1(물리), 2(데이터링크) 계층의 연결 구분
  • 유선 네트워크 : 모든 장치가 물리적 회선으로 연결
  • 무선 네트워크 : 일부 장치가 무선으로 연결
• 네트워크의 종류
  • BAN(Body Area Network) : 몸에 부착된 기기가 스마트폰과 연결
  • PAN(Personal Area Network) : 스마트폰 블루투스를 이용한 기기 연결(BAN과 구분 모호)
  • LAN(Local Area Network) : 집, 회사 등 한 영역에 한정된 네트워크, 라우터 단위 연결
  • WAN(Wide Area Network) : ISP-ISP 간 연결, LAN-LAN 간 연결
    • 클라우드 : 온라인 상에 자료를 공유, 동기화하여 최신 상태로 유지
    • 웹하드의 경우 단순한 자료 업/다운로드이므로 클라우드와는 차이가 존재
    • Fog Computing(=Edge Computing) : 데이터 발생 지점에서 데이터를 처리, 클라우드 컴퓨팅의 처리 부담을 경감

Packet Tracer 실습

• PC, 서버, 스위치, 라우터를 이용한 네트워크 구성
• PC는 스위치에 연결
• 라우터는 서버와 스위치에 연결
• PC 설정
  

  

  • 더블 클릭 후 Desktop-Ip configuration
  • IP address에 설정할 PC IP 입력(subnet mask는 자동 설정)
  • Default Gateway에 가장 가까운 라우터 IP 입력
  • 서버는 라우터에 직접 연결, 그 외에는 PC와 동일한 방법으로 설정
• 라우터 설정
  

  

  • Config-Interface-Ethernet
  • Port status의 on 체크, Ip address에 설정할 IP 입력
• 연결 확인
  • PC에서 dektop-command prompt로 이동하여 server, router 등의 ip로 ping xxx.xxx.xxx.xxx 명령어로 연결 확인
    

    

  • 우하단 패킷 트레이서 시뮬레이션 설정을 realtime에서 simulation으로 바꾸면 패킷의 이동을 확인 가능
  • 좌상단 메뉴의 add simple PUU를 통해 연결상태를 확인하고 싶은 기기를 각각 클릭하여 통신 상태 확인 가능
    

    

• • • config-wireless로 게이트웨이, 장치의 SSID 확인 후 일치하도록 설정
  • 무선 연결을 위해 IOT기기는 config-settings에서 IOT server에서 remote server로 설정, 서버 주소는 gateway로 설정, ID/PW는 기본값 admin/admin
    

    

• DHCP 서버를 이용한 유선 연결
  

  

  • 스위치를 중심으로 한 star topology
  • 서버 IP는 static으로 수동 설정
  • DHCP로 자동 설정 (서버 이용)
    • 서버 IP configuration에 static IP 설정
    • 서버 services - DHCP on, DNS값에 서버 IP 입력 후 add
      

      

    • 서버 services - DNS on, name에 서버 도메인, address에 서버 IP 입력 후 add
      

      

    • end device의 ip configuration에 DHCP 설정시 IP는 자동으로 연결됨
    • IOT 기기는 무선 연결과 동일하게 remote 서버 설정
• 연결 후 PC-desktop-browser에서 도메인/ip로 이동하면 연결된 IOT 기기 확인 가능
  

  

IOT

• 사물이 센서와 통신기기를 통해 연결되어 데이터를 주고받아 발생할 수 있는 모든 서비스와 기술

• (IDC korea, 2020/3/1) 2019 국내 IoT 플랫폼은 전년 대비 19.5% 증가, 23년까지 16.1% 증가 예상

• IoT 발전 전망(정보통신기획평가원) - 현재는 2단계 수준

  • 1단계(단말형) : 단순 sensor 수준
  • 2단계(연결형) : 사물-사물 간 통신 가능, 데이터 저장 및 관리 수준
  • 3단계(지능형) : 데이터 처리와 분석(머신러닝, 빅데이터)가 가능한 수준
  • 4단계(자율형) : 자동화 기반 자율 지능(진화학습) 및 자율협업 수준

• 5G서비스, 인공지능 , 기계학습, 스마트홈 등이 모두 IoT 서비스에 포함

  • AIoT(AI + IoT) : 어플리케이션 기반의 가전제품 조정
  • IIoT(Industrial IoT) : 산업용 물류, 제조 등에 적용
  • IOMT(Internet of Medical Things) : 스마트 기기를 이용한 통합치료
  • IOHT(Internet of Health Things) : 원격진료

패킷 트레이서의 활용

• 센서 입력시 동작 방식 : 단순 알람 or 이벤트 trigger
• 패킷 트레이서를 이용하여 센서값을 이용한 알람 및 기기간 trigger 동작을 분석 가능
• IoT 기기 간 연결 확인 및 control

4차 산업혁명의 영향

• 더 많은 사람들이 일상에서 스마트 기기의 사용을 편하게 생각함
• 온라인 서비스의 증가
• 데이터를 수집하는 센서가 늘어남
• 저장 및 분석할 데이터 양 증가 및 다양화
  • 산업 : 새로운 소비 경향 예측
  • 정보 : 공공 산업 계획
  • 도시 : 공공 시설 제어, 공공 서비스 신속화
• ex. 스페인 바르셀로나
  • 공공기반 시설의 제어를 위해 센서를 사용하여 주차 및 물 사용량 등에 활용

네트워크

• 네트워크는 인터넷의 기반 제공
• 무선 및 디지털 기술의 발전으로 통신 범위가 점차 확대
• 집에서의 단순한 구성부터 회사 조직 단위의 거대 네트워크까지 다양
• 사실상 인터넷 = 네트워크의 네트워크 (현존하는 가장 큰 네트워크)
• IBN, Intent Based Networking : 소프트웨어를 사용하여 네트워크에 연결된 장치 제어

3. Dynamic Response

1. Laplace transform

• 미분 방정식의 풀이를 위해 사용
• $\mathcal{L}\{{f(t)}\}=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt=F(s)$
  • 시간 영역의 함수 f(t)를 주파수 영역의 함수 F(s)로 변환
  • $s=-\sigma\pm jw$
  • $jw$ : f(t)의 주파수
  • $\sigma$ : 진폭의 감쇄
  • Fourier Transform : $s=\pm jw$에 대한 Laplace Transform
• Laplace Transform Property
  • $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$
  • $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t)$ (inverse L.T.)
  • $\mathcal{L}\{kf(t)\}=kF(s)$
  • $\mathcal{L}\{f_1(t)+f_2(t)\}=F_1(s)+F_2(s)$
  • $\mathcal{L}[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)+f(0)$
  • $\mathcal{L}[\frac{d^nf(t)}{dt^n}]=s^nF(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-...-f^{n-1}(0)$
  • $\mathcal{L}[\int^t_0f(\tau)d\tau]=\frac{1}{s}F(s)$

2. Inverse Laplace Transform

• $F(s)=\frac{b_1s^m+b_2s^{m-1}+...+b_{m+1}}{s^n+a_1s^{n-1}+...+a_n}=K\frac{\Pi_{i=1}^m(s-z_i)}{\Pi_{i=1}^n(s-p_i)}$
  • 실제 존재할 수 있는 Transfer function에 대해 $n\geq m$
  • $z_i$ : 함수의 영점(zero)
  • $p_i$ : 함수의 극점(pole)
  • Partial Fraction : $F(s)=\frac{C_1}{s-p_1}+\frac{C_2}{s-p_2}+...+\frac{C_m}{s-p_n}$
    • $C_1=(s-p_1)F(s)|_{s=p_1}$

3. Final-value Theorem

• Laplace Transform을 이용, 시간이 무한히 흘렀을 때의 시스템의 최종값 계산
• sY(s)의 모든 극값이 좌반면 (s < 0)에 존재하는 경우
  • $\lim_{t\rarr\infty}y(t)=lim_{s\rarr0}sY(s)$
• sY(s)의 모든 극값이 좌반면에 존재한다
  • = 분모의 식이 (s+a)(s+b)(s+c)...꼴로 표현
  • 이는 $y(t)=A_0+A_1e^{-at}+A_2e^{-bt}...$, 즉 0으로 수렴하는 식으로 표현
  • 만약 우반면에 존재하는 극값이 존재할 경우 y(t)는 무한으로 발산
• DC Gain
  • 임의 시스템의 Transfer Function G(s)와, 입력U(s), 출력Y(s) 가정
  • $G(S)=\frac{Y(s)}{U(s)}$
  • DC gain = $lim_{t\rarr\infty}\frac{y(t)}{u(t)}=lim_{s\rarr0}G(s)$ : 입력과 무관한 시스템 고유의 특성

4. System Modeling

• 시스템의 신호 흐름을 표시
  

  

1. 직렬 결합
   • G1, G2의 두 시스템이 같은 선에 위치할 경우
   • 시스템은 G1, G2의 곱으로 표시
2. 병렬 결합
   • 분기점을 기준으로 G1, G2가 나눠진 후 다시 결합
   • 시스템은 G1, G2의 합으로 표시
3. 피드백
   • $\frac{진행\ 방향}{1\mp feedback\ loop}$
   • Unit negative feedback : feedback block이 1인 Block diagram
     • 출력 신호가 온전히 input으로 들어오는, 이상적인 feedback

• 분기점(pickoff point) 이전의 분기신호를 분기점 이후로 옮기면, 중간에 있는 block의 역수인 block을 곱하여 배치한다.
• 신호가 합쳐진 뒤 있는 block은 합쳐지기 전 각각 신호에 block이 있는 회로와 동일
• feedback을 전향경로와 동일한 선에 배치할 때, feedback point 이전에 피드백 block의 역수인 block을 배치한다.

5. Effect of Pole Location

• 시스템의 전달함수가 $H(s)$일 때
  • $H(s)=\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{b_1s^m+b_2s^{m-1}...+b_ms+b_{m+1}}{a_1s^n+a_2s^{n-1}...+a_ns+a_{n+1}}=K\frac{\Pi_{i=1}^m(s-z_i)}{\Pi_{i=1}^n(s-p_i)}$
  • pole : $H(s)$가 $\infty$가 되는 값들 ($a(s)=0$)
  • zero : $H(s)$가 0이 되는 값들 ($b(s)=0$)
• Impulse response
  • impulse function : let $u(t)=\delta(t)$, $U(s)=1$
  • 시스템 $H(s)$의 impulse 입력에 대한 출력
  • $Y(s)=H(s)U(s)=H(s)\cdot1=H(s)$
    출력 $y(t)=\mathcal{L}^-1\{H(s)\}=h(t)$
    • 크기가 1인 순간 출력에 대한 응답이므로, 시스템 자체의 고유한 response이기 때문에 impulse response를 natural response라고도 함.

• ex. 1st order pole
  • $H(s)=\frac{1}{s+\sigma}$
  • impulse response $h(t)=exp[-\sigma t]$
  • $\sigma$가 양수일 때 시간에 따라 response가 0으로 수렴하며, 이를 stable하다고 표현
    • $H(s)$의 pole이 음수(s-plane의 좌반면)일 때 시스템은 stable한 상태가 됨
  • 1차 시스템의 time constant
    • 시스템 response가 $\frac{1}{e}$가 되는 시간 $\tau$
    • time constant가 클 수록 응답의 속도가 빠름

• ex. 2개의 complex pole을 갖는 시스템

  • pole $s=-\sigma\pm jw_d$
  • $H(s)=\frac{w_n^2}{(s+\sigma)^2+w_d^2}=\frac{w_n^2}{s^2+2\zeta w_ns+w_n^2}$
  • $\zeta$ : damping ratio (속도에 의한 감쇠)
  • $w_n$ : damping이 없을 때 진동 주파수
  • $w_d$ : damping이 있을 때 진동 주파수 ($w_d=w_n\sqrt{1-\zeta^2}$)
  • impulse response $h(t)$는 지수함수와 삼각함수의 곱으로 표현됨

• s-plane expression
  

  

  • pole $s=-\sigma\pm jw_d$
  • $w_n^2=w_d^2+\sigma^2$
  • $\sigma=\zeta w_n$에서 $\zeta=\frac{\sigma}{w_n}=sin\theta$
    $\theta=sin^{-1}\zeta$

• 2차 시스템의 impulse response

  • $H(s)=\frac{w_n^2}{(s+\sigma)^2+w_d^2}$
    ( $\sigma=\zeta w_n$, $w_d=w_n\sqrt{1-\zeta^2}$)
    $=\frac{w_n^2}{(s+\zeta w_n)^2+w_n^2(1-\zeta^2)}$

  • $(L.T.)e^{-at}sin(bt)=\frac{b}{(s+a)^2+b^2}$
    $\frac{w_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}\frac{w_n\sqrt{1-\zeta^2}}{(s+(\zeta w_n)^2+w_n^2(1-\zeta^2)}$
    $a=\zeta w_n$, $b=w_n\sqrt{1-\zeta^2}$

  • $\therefore h(t)=\frac{w_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{-\zeta w_nt}sin[(w_n\sqrt{1-\zeta^2})t]$

  • 2차 시스템의 impulse response는 undamped natural frequency $w_n$과 damping ratio $\zeta$에 의해 결정

    • $\zeta=0$ : 감쇄 없이 진동
    • $\zeta<1$ : 감쇄하면서 진동 (underdamped)
    • $\zeta=1$ : 진동 없는 감쇄 (Critical damped)
    • $\zeta>1$ : 목표값보다 과하게 감쇄되어 벗어남 (overdamped)

  • damping ratio $0\leq\zeta\leq1$ 가 증가 > 실제 주파수 감소

  • damping ratio가 증가 > 허수축에서 pole이 멀어짐 > $\theta$ 증가

6. Step Response

• 임의 시스템 $H(s)$의 unit step $u(t)$에 대한 응답
• unit step의 laplace transform $U(S)=\frac{1}{s}$
• step response는 0에서 시작해서크기 1을 향해 진동하면서 수렴
• rising time ($t_r$) : 목표값의 10%에서 90%까지 상승하는 시간
• peak time ($t_p$) : 시작점에서 peak점에 도달할 때까지의 시간
  • step response : $Y(s)=\frac{w_n^2}{(s+\sigma)^2+w_d^2}\frac{1}{s}$
  • $y(t)=1-e^{-\sigma t}[cosw_dt+\frac{\sigma}{w_d}sinw_dt]$
  • peak time에서 응답곡선 기울기 = 0
  • $\dot{y}(t)=e^{-\sigma t}[\frac{\sigma^2}{w_d}sinw_dt+w_dsinw_dt]=0$
  • $w_dt=\pi$인 시간이 peak time : $t_p=\frac{\pi}{w_d}$
  • peak time은 damped natural frequency의 함수
• Overshoot ($M_p$) : peak값과 목표값의 차이
  • $M_p=1-y(t_p)=1-(1+e^{-\sigma\pi/w_d})=exp[-\sigma\pi/w_d]$
  • $\sigma=\zeta w_n$, $w_d=w_n\sqrt{1-\zeta^2}$이므로
    $M_p=exp[-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}]$
  • overshoot는 damping ratio의 함수
• settling time : 응답곡선이 목표값의 $\pm1\%$내에 도달하는 시간

• Controller Design
  • 2차 step response $Y(s)=\frac{w_n^2}{(s+\sigma)^2+w_d^2}\frac{1}{s}$ 의 주요 parameter :
    rising time, peak time, overshoot, settling time
  • settling time
    • 응답 y(t)=0.01이 되는 시간
    • $\sigma\geq\frac{4.6}{t_s}$
  • rising time
    • 목표값의 10%에서 90%까지 상승하는 시간
    • $w_n\geq\frac{1.8}{t_r}$

7. Stability

• Routh's Stability Criterion

  • 임의 시스템의 pole이 모두 s-plane 좌반면에 존재하면 시스템은 stable

  • n차 시스템 $a(s)=s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_n$의 안정도 판단

  • 안정 시스템의 필요조건 : 모든 계수 $a_1$~$a_n$이 양수

  • 안정 시스템의 필요충분조건 : routh array의 1번 열이 모두 양수

    

  • special case

    • 계수의 행이 최소공배수를 갖는 경우 최소공배수로 나누어 표현 가능 (부호는 변경할 수 없음)
      • ex. 행 계수가 3, 24, 96, 192인 경우 3으로 나누어 1, 8, 32, 64로 표현 가능
    • 계산한 계수 값이 0인 경우 : $\epsilon(=0^+)$로 대체하여 array 완성 후 부호 비교
    • array 중 a번째 행이 모두 0이 된 경우
      • a+1행 계수로 보조방정식 구성
      • 이 식을 미분한 계수로 0이 된 행 대체
      • ex. $s^1$행이 0, $s^2$행이 3, 12인 경우
        • $a_1(s)=3s^2+12s^0$
        • $\frac{da_1(s)}{ds}=6s$
        • 즉 0이 된 $s^1$행의 1열 계수는 6
      • a+1행부터 시작하는 보조 routh-array 추출
        • 보조 routh-array에서의 RHP = LHP, 남는 근은 허수축 위에 존재
      • routh-array에서 a+1행 위의 계수로 보조방정식 외 나머지 pole 위치 판단

6. Hall Effect, Quasi Fermi Level

Hall Effect

• 물질에 자기장과 그에 수직한 전압을 가해 주면 majority carrier와 캐리어 농도, mobility를 분석 가능
• 자계 내에서 움직이는 전하는 $F=qv\times B$의 로렌츠 힘을 받음
• 자계와 전압에 모두 수직한 방향으로 전위차 $V_H$ 형성
  • n-type에서는 (-), p-type에서는 (+)전압 형성
  • 정공이 만약 VB 전자의 빈 자리라고 할 경우 p-type 반도체의 $V_H$ 역시 전자에 의해 (-)전압이 형성된다.
  • 하지만 실제로는 (+)전압이 형성되므로 정공 역시 빈 자리가 아닌 실제 입자라는 것을 알 수 있다.

• Hall 전압이 가해지면 전위차에 의한 induced electric field가 형성
• 로렌츠 힘은 (-) > (+), 전계는 (+) > (-) 방향으로 형성
• steady state에서 $F=q[E+v\times B]=0$

  • 홀 전압 $V_H=E_HW=E_YW=v_XB_ZW$

  • p-type : $v_X=J_X/qp=I_X/qpWd$

    • $V_H=I_XB_Z/qpd$
    • $p=I_XB_Z/qdV_H$

  • n-type : $v_X=-J_X/qn=-I_X/qnWd$

    • $V_H=-I_XB_Z/qnd$
    • $n=I_XB_Z/qd|V_H|$

  • mobility $\mu=I_XL/qpV_XWd=I_XL/qnV_XWd$

• Hall Coefficient $R_H$
  • $R_{Hn}=-1/qn$
  • $R_{Hp}=1/qp$

Quasi-Fermi Level

• non-equilibrium 상태에서는 mass action law가 만족하지 않음 ( $np\not ={n_i^2}$ )
• 그러므로 전자, 정공에 대한 quasi-fermi level을 각각 정의
  • $n=n_0+\Delta n=n_iexp[(F_N-E_i)/kT]$
    • $F_N=E_i+kTln(n/n_i)$
  • $p=p_0+\Delta p=n_iexp[(E_i-F_P)/kT]$
    • $F_P=E_i-kTln(p/n_i)$
  • $np=n_i^2exp[(F_N-F_P)/kT]$
• $F_N>F_P$ : Carrier excess ( $np>n_i^2$ )
• $F_N<F_P$ : Carrier deficit ( $np<n_i^2$ )
• $F_N=F_P=E_F$ : equilibrium ( $np=n_i^2$ )

• Low level injection 하에서 페르미 레벨 대비 minority carrier의 quasi fermi level은 majority carrier보다 큰 차이를 보임
  • ex. $n_0=10^{15}$ , $p_0=10^5$ , $n_i=10^{10}$ , $\Delta n=\Delta p=10^{11}$
  • $F_N=E_i+kTln(n/n_i)\simeq E_i+kTln(n_0/n_i)=E_i+kTln(10^5)$
  • $F_P=E_i-kTln(p/n_i)\simeq E_i-kTln(\Delta p/n_i)=E_i-kTln(10)$
  • $E_F=E_i+kTln(n_0/n_i)=E_i-kTln(p_0/n_i)=E_i+kTln(10^5)$

• 전류밀도 = diffusion + drift

  • $J_P=qp\mu_pE-qD_p\nabla p$

  • $\nabla p=\frac{n_i}{kT}e^{(E_i-E_F)/kT}(\nabla E_i-\nabla F_P)=\frac{qp}{kT}E-\frac{p\nabla F_P}{kT}$

    • $\nabla E_i=qE$
    • $E_i$, $F_P$는 상수가 아니므로 각각 미분

  • $J_P=qpE(\mu_p-\frac{qD_P}{kT})+\frac{qpD_p}{kT}\nabla F_P=\mu_pp\nabla F_P$

    • $\mu_p=\frac{qD_p}{kT}$ (einstein relationship)
• $\begin{cases} J_P=\mu_pp\nabla F_p=\mu_pp\nabla(F_P-E_i)+\mu_pp\nabla E_i\\ J_N=\mu_nn\nabla F_n=\mu_nn\nabla(F_N-E_i)+\mu_nn\nabla E_i \end{cases}$
  • $\mu_pp\nabla(F_P-E_i)$ : Drift Current
  • $\mu_pp\nabla E_i$ : Diffusion Current

Pulse Doping

• 특정 위치에 대해서만 Donor 도핑 시
  • 도핑 중심 영역은 균일한 농도를 갖게 되므로 변화가 없음, 도핑 농도가 변화하는 지점에 대해서 drift + diffusion
    • 도핑된 위치를 중심으로 바깥으로 diffusion
    • 이온화된 Donor과 확산된 전자에 의한 전계 형성, 도핑 농도가 높은 쪽으로 전자 drift
  • 도핑 농도차가 생기는 지점을 경계로 안쪽은 +, 바깥쪽은 - 전하가 쌓여 equilibrium 상태

5. Equation of State

Equations of state

• 실제 반도체에서 carrier action(generation, recombination, diffusion, drift)은 동시에 발생
• 그 결과 전자 및 정공 농도, 전위에 영향
• Equations of state
  • 반도체의 상태를 완벽하게 설명하기 위한 방정식
  • carrier action의 효과를 모두 고려
  • $n(x,y,z,t),\ p(x,y,z,t),\ V(x,y,z,t)$로 표현

• Continuity Equation의 도출 과정

  • 생성-결합을 제외한 보존 법칙 : $\nabla\cdot J=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$

    • 전자의 $\rho=-qn$
      $\nabla\cdot J=q\frac{\partial n}{\partial t}$

    • 정공의 $\rho=qp$
      $\nabla\cdot J=q\frac{\partial p}{\partial t}$

  • 생성-결합을 고려한 Continuity Equations

    • $\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{\partial n}{\partial t}|_{drift}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{diff}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{other}$
      $=\frac{1}{q}\nabla\cdot J_N+\frac{\partial n}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{other}$

    • $\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{\partial p}{\partial t}|_{drift}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{diff}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{other}$
      $=-\frac{1}{q}\nabla\cdot J_P+\frac{\partial p}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{other}$

• 반도체의 상태 - 전자, 정공, 전위(Eq. of states) - 밴드 다이어그램은 서로 연관되어있는 상태

  • 에너지 밴드를 그릴 수 있다 = 반도체 상태를 알 수 있다 = 정공, 전자, 전위를 안다

• Equation Set used in Semiconductor device

  • Conservation Law : 위치에 대한 비선형 2차 편미분방정식

    • $\frac{1}{q}\nabla\cdot J_N+\frac{\partial n}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial n}{\partial t}|_{other}$

    • $-\frac{1}{q}\nabla\cdot J_P+\frac{\partial p}{\partial t}|_{thermal R-G}+\frac{\partial p}{\partial t}|_{other}$

    • $\nabla\cdot D=\rho$ ( $\nabla^2V=-\rho/\epsilon$ )

  • Constitutive Relations

    • $\rho=q(N_D^++p-N_A^--n)$ : Charge Neutality Condition
    • $D=-\epsilon E$
    • $J_N=qn\mu_nE+pD_N\nabla n$
    • $J_P=qp\mu_pE-qD_p\nabla p$

  • 매우 작은 반도체 구조에는 슈뢰딩거 방정식 역시 고려

Minority Carrier Diffusion Equation

• 계산을 위한 가정

  • 1차원 분석

  • minority carrier에 의해 majority carrier가 구해짐

  • 전계는 매우 작음 (= Diffusion Equation)

  • uniform doping

    • 선형방정식 유도
    • uniform doping : $n=n_0(x,y,z)+\Delta n(t)$에서 $n_0$는 위치에 무관한 상수

  • low-level injection

    • nonequilibrium 상태에 의한 초과 캐리어는 majority 캐리어 농도보다 매우 작다.
    • $\Delta n(t)<<n_0$

  • 열에 의한 생성-재결합은 캐리어 농도 변화에 의해 간접적으로 발생

  • 추가적인 변화는 빛 에너지에 의해서만 발생

• Minority Carrier Diffusion Equation

  • $\frac{\partial\Delta n_p}{\partial t}=D_N\frac{\partial^2\Delta n_p}{\partial x^2}-\frac{\Delta n_p}{\tau_n}+G_L$ (p-type)

  • $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p}+G_L$ (n-type)

  • Steady State : $\frac{\partial\Delta n_p}{\partial t}$ ( $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}$ ) $=0$

  • No Concentration Gradient (No Diffusion, Uniformly Generated) :
    $D_P\frac{\partial^2\Delta n_p}{\partial x^2}$ ( $D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}$ ) $=0$

  • No Thermal R-G : $\frac{\Delta n_p}{\tau_n}$ ( $\frac{\Delta p_n}{\tau_p}$ ) $=0$

  • No Light : $G_L=0$

Solutions of Minority Carrier Diffusion Equation

• 주어진 조건 파악 : 반도체 물질, 온도, 전자-정공 농도, lifetime, 외부 자극 등등
• 초기 상태 정의 : Fully-ionized 상태에서의 전자, 정공 농도
• 방정식 조건 분석 : Steady State, No Diffusion 등등
• 방정식 풀이 계산
• 계산한 해가 앞의 조건을 만족하는지 재확인

• ex. room temperature, uniformly generated, n-type

  • minority carrier : $D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}$ $=0$ 이므로

  • $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=-\frac{\Delta p_n}{\tau_p}+G_L$

  • initial condition : $\Delta p_n(t=0)=0$

  • $\therefore \Delta p_n(t)=G_L\tau_p(1-exp[-t/\tau_p])$

• 시간이 흐름에 따라 excess carrier는 0에서 $\Delta p$를 향해 수렴
• 재확인
  • $G_L\tau_p$의 단위는 $1/cm^3$, 정공 농도와 단위 동일
  • low-level injection validity 확인

• ex 2. room temperature, surface generated, n-type, $G_L=0$

  • steady state : $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p} = 0$

  • General Solution : $\Delta p_n(x)=Ae^{-x/D_p\tau_p}+Be^{x/D_p\tau_p}$

  • surface generation

    • $\Delta p_n(0)=\Delta P_{n0}$ , $\Delta p_n(\infty)=0$
    • 표면에서만 excess carrier 생성

  • $\therefore \Delta p_n(x)=\Delta P_{n0}exp[-x/\sqrt{D_P\tau_p}\ ]$

  • $\sqrt{D_p\tau_p}\equiv L_p$ : hole diffusion length

  • diffusion length

    • $<x>=\frac{\int x\Delta p_n(x)}{\int \Delta p_n(x)}$는 x=0일 때 $\Delta p_n(x)$의 접선으로 나타남
    • 기댓값 $<x>$는 거리의 평균값, 즉 Diffusion에 의해 평균적으로 캐리어가 이동하는 거리를 의미
    • 캐리어의 이동 거리는 전속밀도 $D$와 lifetime $\tau$에 비례하게 됨

• ex3. local carrier generation, n-type

  • 특정 지점에서 Electron-hole pair가 계속 생성

  • steady state : $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p} +g\delta(x)= 0$

  • boundary condition : $\Delta p(\pm\infty)=0$

    • 생성 지점 좌우로 diffusion

  • $\Delta p(x)=\begin{cases} Aexp(x/L_N)\ :\ x<0\\ Aexp(-x/L_N)\ :\ x\geq0 \end{cases}$

  • 델타함수의 특성을 이용하여 해 계산 : $0^-$~$0^+$ 적분

    • $A=gL_N/2D_N$
    • $\therefore\Delta p(x)=\begin{cases} (gL_N/2D_N)\ exp(x/L_N)\ :\ x<0\\ (gL_N/2D_N)\ exp(-x/L_N)\ :\ x\geq0 \end{cases}$

• ex4. Instant local carrier generation, n-type, drift & diffusion

  • ex3과 다르게 1회성 EHP 생성

  • $\frac{\partial\Delta p_n}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2\Delta p_n}{\partial x^2}-\mu_p\epsilon_0\frac{\partial\Delta p_n}{\partial x}-\frac{\Delta p_n}{\tau_p}$

  • diffusion에 의해 시간이 흐를수록 가우시안 형태의 분포가 폭이 넒어짐

    • $\Delta p(x,t)=p'(x,t)exp[-t/\tau_p]$

  • boundary condition : $\Delta p(\pm\infty)=0$

  • 미분방정식에 위의 해 대입

    • $\frac{\Delta p'}{\partial t}=D_P\frac{\partial^2p'}{\partial x^2}-\mu_p\epsilon_0\frac{\partial p'}{\partial x}$
    • $\therefore p'(x,t)=\frac{\Delta p_s}{\sqrt{4\pi D_Pt}}exp[-\frac{(x-\mu_p\epsilon_0t)^2}{4D_Pt}](cm^{-2})$
    • $\Delta p_s$ : Electron hole pair 생성에 의한 excess carrier

  • $p'$를 위 해에 대입

    • $\Delta p(x,t)=\frac{\Delta p_s\ exp[-t/\tau_P]}{\sqrt{4\pi D_Pt}}exp[-\frac{(x-\mu_p\epsilon_0t)^2}{4D_Pt}](cm^{-2})$
    • $e^{-t/\tau_P}$ : 재결합에 의한 excess carrier 농도 감소
    • $\sqrt{4\pi D_Pt}$ : diffusion에 의한 peak 농도 감소
    • $4D_Pt$ : diffusion에 의한 분포 폭 증가
    • $(x-\mu_p\epsilon_0t)^2$ : drift에 의한 shift

  • 재확인

    • $\Delta p_s=0$
      • Electron-Hole pair 생성이 없음
      • $\Delta p(x,t)$=0
    • limiting case
      • $\tau_p=0$
        • excess carrier 생성 즉시 소멸
        • $e^{-t/\tau_P}=0$이 되므로 $\Delta p(x,t)=0$
      • $D_P=\infty$ or $t=\infty$
        • 생성된 excess carrier가 완전히 diffusion
        • $\Delta p(x,t)=0$

Feedback

• H(s) : feed-forward gain
• G(s) : Loop gain
• $\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{H(s)}{1+G(s)H(s)}$
• feedback으로 인해 Gain은 감소하지만 안정
• 제한된 bandwith의 조절 가능
  • loop gain $\beta$가 있을 때
  • gain은 $1+\beta A(s)$만큼 감소
  • 대역폭은 $1+\beta A(s)$만큼 증가
    

    

    • 대역폭 증가시 시정수 감소
    • 부족한 대역폭 = 긴 시정수 = 비정상 증폭

Stability, Frequency Comprehensation

• 피드백 단점 : 불안정 위험 (특히 2-stage Opamp)
• op-amp 회로의 주파수 응답
  • 가장 작은 pole : bandwidth 주파수
  • Gain Bandwidth : Gain 크기가 0이 되는 지점
• Barkhausen's Criteria
  

  

  • $|\beta A_v(jw)|=1$, $\angle\beta A_v(jw)=-180\degree$를 만족하는 주파수에서 회로가 발진
  • 진폭, 위상 Bode plot에서 Gain이 0인 주파수를 $w_k$, 위상이 $-180\degree$인 주파수를 $w_{180}$으로 정의
  • $w_k,\ w_{180}$일 때의 gain 차이를 GM(Gain Margin)
  • $w_k,\ w_{180}$일 때의 위상차를 PM(Phase Margin)
  • $w_k<w_{180}$일 때 회로가 stable
• loop gain $\beta$의 감소
  

  

  • Gain 감소
  • 안정성 증가
• Pole-splitting
  

  

  • feedback 회로에서 stable 상태를 유지하면서 PM = 60일 때가 최적의 상태
  • 2단 opamp의 경우 2단째에 C로 피드백을 형성하여 1, 2번째 pole 사이 간격을 넓힐 수 있음 (pole-splitting)
    • PM은 확보되지만 bandwidth는 나빠짐
• RHP zero
  • 패드백 커패시터 $C_C$, 부하 커패시터 $C_L$, 내부 커패시터 $C_A$
  • $\frac{1}{C_C}<<\frac{1}{C_A}+\frac{1}{C_L}$의 조건 만족시 s-plane 우반면에 zero 형성(RHP zero)
  • gain은 감소하고, 위상은 더 감소하는 worst case
  • feedback에 R(LHP zero)을 추가하여 RHP zero 보상

1. Expected Value of R.V function

• N개 R.V. 함수에 대해서
  • $E[X]=\int xf_X(x)dx$
  • R.V. Z=X+Y일 때 $E[Z]=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}(X+Y)f_{X,Y}(x,y)dxdy=E[X]+E[Y]$
  • 함수 g(x,y)에 대해 $\overline{g}=E_{X,Y}[g(x,y)]=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}g(x,y)f_{X,Y}(x,y)dxdy$
  • $E[\sum_i\alpha_iX_i]=\sum_i\alpha_iE[X_i]$

결합 Moment

• $m_{nk}\equiv E_{X,Y}[X^nY^k]=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}x^ny^kf_{X,Y}(x,y)dxdy$
• $m_{n0}=E[X^n]$, $m_{0k}=E[Y^k]$
• n+k = moment의 차수
• Correlation(상관관계) : $R_{XY}=m_{11}=E_{X,Y}[XY]$
  • $E[XY]=E[X]E[Y]$면 uncorrelated
  • 독립시행이면 uncorrelated
  • correlated면 독립이 아님
  • 하지만 uncorrelated라고 해서 독립인 것은 아님
  • $R_{XY}=0$이면 X와 Y는 직교(orthogonal)한다고 표현

결합 Central Moment

• $\mu_{nk}=E_{X,Y}[(X-\overline{X})^n(Y-\overline{Y})^k]$
• 랜덤변수의 분산 : $\mu_{20}=\sigma_X^2$, $\mu_{02}=\sigma_Y^@$
• Covariance : $C_{XY}=C_{YX}=\mu_{11}$
  $=E[(X-\overline{X})(Y-\overline{Y})]=E[XY]-\overline{XY}=R_{XY}-\overline{XY}$
  • $C_{XY}=0$이면 uncorrelated
  • $C_{XY}=-E[X]E[Y]$면 orthogonal
  • 상관계수(Correlation Coefficient) : $\rho=\frac{\mu_{11}}{\sqrt{\mu_{20}\mu_{02}{}}}=\frac{C_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y}=E[\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}]$
    • 상관계수의 크기는 항상 1보다 작음

• 증명 : Cauchy-Schwarz inequality
  

  

  
  $f(x)=\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}f_{X,Y}(x,y)$, $g(y)=\frac{y-\mu_y}{\sigma_y}f_{X,Y}(x,y)$
  가우스 분포이므로 우변은 1이 됨. $\therefore -1\leq|\rho|\leq1$

2. Joint Characteristic Function

• $\Phi_{X,Y}(w_1, w_2)=E[\ exp[jw_1X+jw_2Y]\ ]$
  $=\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}f_{X,Y}(x,y)exp[jw_1X+jw_2Y]dxdy$
• inverse Ch. : $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int^\infty_{-\infty}\int^\infty_{-\infty}\Phi_{X,Y}(w_1,w_2)exp[-(jw_1X+jw_2Y)]dw_1dw_2$
• marginality : $\Phi_X(w)=\Phi_{X,Y}(w,0)$
• Joint Moment : $m_{n,k}=(-j)^{n+k}\frac{\partial^{n+k}\Phi_{X,Y}(w_1,w_2)}{\partial w_1^n\partial w_2^k}|_{w1=w2=0}$

3. Joint Gaussian Random Variable

• $f_{\it{X}}(x)=\large{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n(det\sum)}}exp[-\frac{1}{2}(X-\mu)^{T}\sum^{-1}(X-\mu)]}$
• 2차원 Gaussian R.V.에 대해
  • $\sum=\begin{bmatrix} \sigma_x^2&\rho\sigma_x\sigma_y\\ \rho\sigma_x\sigma_y&\sigma_y^2 \end{bmatrix}$
  • $\sum^{-1}=\frac{1}{1-\rho^2}\begin{bmatrix} \frac{1}{\sigma_x^2}&-\frac{\rho}{\sigma_x\sigma_y}\\ -\frac{\rho}{\sigma_x\sigma_y}&\frac{1}{\sigma_y^2} \end{bmatrix}$
  • $det\sum=\sigma_X^2\sigma_Y^2(1-\rho^2)$
  • $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}exp[-\frac{1}{2(1-\rho^2)}[(\frac{x-\mu_x}{\sigma_X})^2-2\rho(\frac{x-\mu_x}{\sigma_X})(\frac{y-\mu_y}{\sigma_Y})+(\frac{y-\mu_y}{\sigma_Y})^2]]$

• property : 2차원 joint gaussian R.V $f_{X,Y}(x,y)$
  • $X$~$N(\mu_x,\sigma_X^2)$
  • $E[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)]=\rho\sigma_X\sigma Y$(Covariance)
  • $E[XY]=\rho\sigma_X\sigma Y+\mu_x\mu_y$
• X,Y가 joint Gaussian이고 $\rho=0$이면 uncorrelated
• 임의의 uncorrelated한 gaussian R.V.는 독립
• 가우시안의 선형 transform, marginal, conditional distribution은 모두 gaussian