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4. Analysis of Feedback

4. Analysis of Feedback

1. Basic Equations of Control

  • open loop system : disturbance(외란)에 민감하고, steady state error가 점점 증가(누적)
    • 출력 YOL=GDOLR+GWY_{OL}=GD_{OL}R+GW
    • Transfer function TOL=YOLR=GDOLT_{OL} = \frac{Y_{OL}}{R}=GD_{OL} (외란은 무관)
    • 오차 EOL=R−Y=[1−GDOL]R−GWE_{OL}=R-Y=[1-GD_{OL}]R-GW
  • closed loop system : 피드백을 이용하여 외란 제거, 안정도 높음
    • 외란 W와 센서 노이즈 V가 같이 존재
    • Controller 입력 U=R−FU=R-F
    • 피드백 F=DCLGU+GW+VF=D_{CL}GU+GW+V
    • 출력 YCL=DCLGU+GWY_{CL}=D_{CL}GU+GW
      =DCLG1+DCLG[R−GW−V]+GW=DCLG1+DCLG[R−V]+GW1+DCLG=\frac{D_{CL}G}{1+D_{CL}G}[R-GW-V]+GW=\frac{D_{CL}G}{1+D_{CL}G}[R-V]+\frac{GW}{1+D_{CL}G}
    • 오차 ECL=R−Y=R1+DCLG−GW1+DCLG+DCLGV1+DCLGE_{CL}=R-Y=\frac{R}{1+D_{CL}G}-\frac{GW}{1+D_{CL}G}+\frac{D_{CL}GV}{1+D_{CL}G}
    • 전달함수 TCL=GDCL1+GDCLT_{CL}=\frac{GD_{CL}}{1+GD_{CL}}
  • Open loop / Closed loop의 안정도

    • Open loop system의 전달함수 TOL=GDOLT_{OL}=GD_{OL}

      • Plant G(s)의 pole이 우반면에 존재(불안정)시 전체 시스템 T(s) 역시 불안정하게 됨
      • ex. G(s)=1s−1, D(s)=cs+ds2+as+bG(s)=\frac{1}{s-1},\ D(s)=\frac{cs+d}{s^2+as+b}이면 둘을 곱해도 unstable pole을 갖게 됨
      • D의 cs+dcs+d를 G(s)의 pole과 동일하게하여 식에서는 지울 수 있다 해도,
        오차에 의해 실제 시스템에서는 둘을 정확하게 일치하는 것이 불가능하다.
        그러므로 open-loop system의 불안정 pole을 지우는 것은 사실상 불가능함.

    • Closed loop system의 전달함수 TCL=GDCL1+GDCLT_{CL}=\frac{GD_{CL}}{1+GD_{CL}}

      • G(s)=a(s)/b(s), DCL(s)=c(s)/d(s)G(s)=a(s)/b(s),\ D_{CL}(s)=c(s)/d(s)라 가정
      • 전달함수의 pole 식은 a(s)c(s)+b(s)d(s)=0a(s)c(s)+b(s)d(s)=0으로 정리된다.
      • 즉 G(s)의 b(s)가 unstable pole을 갖더라도 DCL(s)D_{CL}(s)의 적절한 조정으로 전달함수의 2차 방정식은 stable하게 조절 가능
  • Disturbance Rejection : 외란 W에 의한 오차

    • Open-loop system disturbance EOL(s)=GWE_{OL}(s)=GW

      • 시스템 G와 외란 W 모두 조절이 불가능한 요인이므로, steady state에서의 오차는 조절 불가

    • Closed-loop system disturbance ECL=GW1+DCLGE_{CL}=\frac{GW}{1+D_{CL}G}

      • 제어 가능한 DCLD_{CL}을 가능한 크게 만들면 Open loop 대비 오차를 줄일 수 있음
      • steady state Error ECL(s)=EOL(s)1+GDCLE_{CL}(s)=\frac{E_{OL(s)}}{1+GD_{CL}}
  • Sensitivity

    • 임의 시스템을 장시간 구동하면 시스템에 변형이 발생

    • sensitivity : 만약 Plant G에 변형이 왔을 경우 전체 시스템(전달 함수)에 발생하는 변형

      • G⇒G+δGG\rArr G+\delta G일 때 T⇒T+δTT\rArr T+\delta T의 정도
      • sensitivity T to G : SGT=δT/TδG/G=GTδTδGS_G^T=\frac{\delta T/T}{\delta G/G}=\frac{G}{T}\frac{\delta T}{\delta G}

    • Open-loop system의 경우

      • TOL=GDOLT_{OL}=GD_{OL} (Controller 변화는 없다고 가정)
        →TOL+δTOL=(G+δG)DOL\rarr T_{OL}+\delta T_{OL}=(G+\delta G)D_{OL}
      • δTOL=(δG)DOL\delta T_{OL}=(\delta G)D_{OL}이므로
        SGTOL=GTOLδTOLδG=1DOLDOL=1S_G^{T_{OL}}=\frac{G}{T_{OL}}\frac{\delta T_{OL}}{\delta G}=\frac{1}{D_{OL}}D_{OL}=1
      • 즉 Open-loop system의 stability = 1 : Plant의 변화가 그대로 system에 반영

    • Closed-loop system의 경우

      • TCL=GDCL1+GDCLT_{CL}=\frac{GD_{CL}}{1+GD_{CL}}
        ⇒TCL+δTCL=(G+δG)DCL1+(G+δG)DCL\rArr T_{CL}+\delta T_{CL}=\frac{(G+\delta G)D_{CL}}{1+(G+\delta G)D_{CL}}
      • δTCL=dTCLdGδG\delta T_{CL}=\frac{dT_{CL}}{dG}\delta G
        SGTCL=GTCLdTOLdG=GGDCL/[1+GDCL][1+GDCL]DCL−DCL[GDCL][1+GDCL]2S_G^{T_{CL}}=\frac{G}{T_{CL}}\frac{dT_{OL}}{dG}=\frac{G}{GD_{CL}/[1+GD_{CL}]}\frac{[1+GD_{CL}]D_{CL}-D_{CL}[GD_{CL}]}{[1+GD_{CL}]^2}
        =11+GDCL=\frac{1}{1+GD_{CL}}
      • Controller DCLD_{CL}의 조정에 따라 sensitivity의 감소 가능

2. Control of Steady State Error to Polynomial Input

  • Stable Unit negative Feedback system
    • E(s)=R(s)−Y(s)=R−DG1+DGR=11+DGRE(s)=R(s)-Y(s)=R-\frac{DG}{1+DG}R=\frac{1}{1+DG}R
    • steady-state error : ess(t)=limt⇒∞[r(t)−y(t)]e_{ss}(t)=lim_{t\rArr\infty}[r(t)-y(t)]
      =lims⇒0s[R(s)−Y(s)]=lim_{s\rArr0}s[R(s)-Y(s)] (Final Value Thm.)
      =lims⇒0sR1+DG=lim_{s\rArr0}\frac{sR}{1+DG}
  • 입력 신호에 따른 steady-state error의 응답
    • (a) unit step input : R(s)=1/sR(s)=1/s
      • 일정한 값 입력 > 일정 위치 목표
      • ess=lims⇒011+DGe_{ss}=lim_{s\rArr0}\frac{1}{1+DG}
      • Position error Constant : Kp=lims→0D(s)G(s)K_p=lim_{s\rarr0}D(s)G(s)
      • ∴ess=11+Kp\therefore e_{ss}=\frac{1}{1+K_p}
    • (b) unit ramp input : R(s)=1/s2R(s)=1/s^2
      • 일정 기울기 입력 > 일정 속도 목표
      • ess=lims⇒01/s1+DG=lims⇒01sDGe_{ss}=lim_{s\rArr0}\frac{1/s}{1+DG}=lim_{s\rArr0}\frac{1}{sDG}
      • velocity error Constant : Kv=lims→0sD(s)G(s)K_v=lim_{s\rarr0}sD(s)G(s)
      • ∴ess=1Kv\therefore e_{ss}=\frac{1}{K_v}
    • (c) unit parabola input : R(s)=1/s3R(s)=1/s^3
      • 2차 미분이 일정 > 일정 가속도 목표
      • ess=lims⇒01/s21+DG=lims⇒01s2DGe_{ss}=lim_{s\rArr0}\frac{1/s^2}{1+DG}=lim_{s\rArr0}\frac{1}{s^2DG}
      • Acceleration error Constant : Ka=lims2→0s2D(s)G(s)K_a=lim_{s^2\rarr0}s^2D(s)G(s)
      • ∴ess=1Ka\therefore e_{ss}=\frac{1}{K_a}
  • System Type
    • pole값이 0이 되는 D(s)G(s)D(s)G(s)식의 차수
    • D(s)G(s)=a(s) / [snb(s)]D(s)G(s)=a(s)\ /\ [s^nb(s)]라고 할 때, 이 시스템을 n차 시스템이라고 정의
    • 0차 시스템 : Kp=1/[1+Kp], Kv=0K_p=1/[1+K_p],\ K_v=0
    • 1차 시스템 : Kp=∞, Kv=constant, Ka=0K_p=\infty,\ K_v=constant,\ K_a=0
    • n차 시스템
      • 입력 R(s)=1/sk+1R(s)=1/s^{k+1}일 때
      • n > k : ess=0e_{ss}=0
      • n < k : ess=∞e_{ss}=\infty
      • n = k = 0 : ess=1/(1+K0)e_{ss}=1/(1+K_0)
      • n=k≠0:ess=1/Knn=k\not ={0} : e_ss=1/K_n
      • 시스템 차수보다 낮은 차수의 오차상수는 0, 높은 차수의 오차상수는 무한대가 된다.

3. PID control

  • Closed-Loop system의 컨트롤러의 전달함수를 D를 조절하여 오류값을 비례(proportional) - 적분(Integral) - 미분(Derivative)하는 컨트롤러
  • controller D(s)=KP+KIs+KDsD(s)=K_P+\frac{K_I}{s}+K_Ds
  • P controller : 오류값에 비례하는 제어
    • DG=kpAτs+1DG=\frac{k_pA}{\tau s+1} (type 0)
    • position error const. KP=AkPK_P=Ak_P
    • steady-state error ess=11+AkPe_{ss}=\frac{1}{1+Ak_P}
  • PI controller : 오류값에 비례+미분 제어
    • DG=A(sp+kI/s)τs+1DG=\frac{A(s_p+k_I/s)}{\tau s+1} (type 1)
    • position error const. KP=∞K_P=\infty
      • unit step에 대한 ess=0e_{ss}=0
      • I controller에 의해 위치의 steady-state error 제거
    • velocity error const. KV=AkIK_V=Ak_I
      • unit ramp에 대한 ess=1AKIe_{ss}=\frac{1}{AK_I}
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