[자동제어] 5. Root-Locus Design

5. The Root-Locus Design

1. Root-Locus of Basic Feedback system

• Transfer Function $\frac{Y(s)}{R(s)}=T(s)=\frac{DG}{1+DGH}$
  • 전체 시스템의 특성방정식 : $1+DGH=0$
    $\rArr a(s)+Kb(s)=0$ K : T(s)의 공통 변수로 정의
    $\rArr 1+KL(s)=0$ ($L(s)=b(s)/a(s)$)
  • Root-Locus : 임의 변수 K가 0에서 무한으로 증가할 때 근의 궤적
    • $a(s)+Kb(s)=0$의 방정식을 풀어 s의 궤적 판단
• Position Controller에 대한 Root Locus
  • 2개의 근, 2개의 근궤적 형성
  • K=0일 때, 궤적은 pole에서 시작, Breakaway point로 수렴
  • Breakaway point : 궤적이 실수축을 벗어나는 K값
  • Breakaway point 이상으로 K가 증가하면 근궤적은 허수축과 평행하게 무한으로 발산
• Open-loop pole에 대한 Root locus
  • 특성방정식의 Pole값을 K로 계산
    • K=0일 때 근궤적은 허수축 pole에서 시작
    • K가 증가함에 따라 반원형태를 그리며 수렴
    • Break-in Point : 궤적이 실수축과 만나는 K값
    • K가 break-in point 이상으로 증가하면 실수축을 따라서 한 궤적은 0으로 수렴, 다른 궤적은 무한으로 발산

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2. Guidelines for Sketching a Root Locus

• Def. 1 : root locus는 K가 0에서 무한으로 증가할 때 $1+KL(s)=0$을 만족하는 s의 궤적이다
• Def. 2 : $L(s)$의 root locus는 $L(s)$의 위상이 180도가 되는 s의 궤적이다.
  • $L(s)=-1/K$
  • $\angle L(s)=\angle [-\frac{1}{K}]=180\degree$
  • 임의 근 s에 대해, L(s)의 zero와 pole과 각각 이루는 각도의 합이 180도의 배수가 되어야 함

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• Positive Root Locus를 그리기 위한 규칙
  1. 궤적은 L(s)의 pole에서 시작해서 zero로 수렴
  2. L(s)의 궤적은 실수축을 기준으로 대칭
     • 실수인 pole,zero의 개수의 합이 홀수인 경우 가장 작은 근에서 $-\infty$방향으로 발산
  3. s가 무한으로 가는 경우 궤적은 실수축 위의 점을 기준으로 형성되는 점근선을 따라 형성
     • 점근선의 위상 $\phi=\frac{180+360(l-1)}{p-z}$ (l=1,2,3...)
     • 점근선 교차점 $\alpha = \frac{\sum p_i- \sum z_i}{p-z}$
     • p : pole 개수 / z : zero 개수
     • l : 0, 1, 2, ...
  4. root locus 출발/도달 각도
     • pole에서 궤적이 출발하는 각 $\phi_{dep}=\frac{\sum\psi_i-\sum\phi_i-180-360(l-1)}{q}$
       • $\psi$ : 임의 지점과 zero 사이의 각
       • $\phi$ : 임의 지점과 pole 사이의 각
       • q : 해당 pole의 중근 개수
     • zero로 궤적이 도달하는 각 $\psi=\frac{\sum\psi_i-\sum\phi_i+180+360(l-1)}{q}$
  5. root locus가 허수축을 지날 때 교차점
     • s=jw꼴로 나타나므로 특성방정식의 짝수 차수 항들은 0이 되어야 함
     • 1, 3, 5,...차 항만 남긴 후 해당 식이 0이 되는 근이 허수축 교차점
     • 허수축을 지날 때의 K값은 routh array를 구성할 때 행의 모든 값을 0으로 만드는 값이다.
  6. Multiple root
     • $a(s)+Kb(s)=0$꼴로 정리했을 때
     • $b\frac{da}{ds}-a\frac{db}{ds}=0$을 만족하는 실수값이 있을 때 그 점이 궤적의 교차점(breakaway, breakin point)
     • 이때 break point는 근궤적 위에 존재해야 함

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3. Selected Illustrative Root Locus

• P 컨트롤러의 근궤적
  • $G(s)=1/s^2\rArr 1+k_p\frac{1}{s^2}=0$
  1. pole s=0에서 궤적 시작, 두 선 모두 무한으로 발산
  2. 근이 2개이므로 실수축을 지나지 않음
  3. 점근선의 교차점 0, 위상 $\pm90\degree$
  4. 출발 각도 $\pm90\degree$
  5. 조건 3, 4에 의해 허수축만을 따라 움직임
  6. breakaway point - s=0
     

     

• PD 컨트롤러의 근궤적
  • $1+[k_p+k_ds]\frac{1}{s^2}=0$
    $k_p=k_d=K$일 때 $\rArr1+K\frac{s+1}{s^2}=0$
  1. 근의 개수 : p=2 (0 중근), z=1 (s+1=0)
     1개 궤적은 무한으로 발산
  2. zero가 1개이므로 실수축을 따르는 궤적 존재
  3. 점근선의 교차점 1, 위상 180도
  4. pole의 출발각 $\phi=\pm90\degree$
  5. routh array를 그렸을 때 허수축을 지나는 조건 x
  6. s=0, -2에서 근궤적 교차
     

     

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4. Design Using Dynamic Compensation

• P 컨트롤러에서 D 컨트롤러를 추가하면 궤적이 허수축에서 LHP로 이동하여 안정된 시스템이 되는 것을 확인할 수 있다.
  • 실제 미분 동작은 오차값의 시간 미분으로 동작
  • 오차 역시 노이즈가 포함되므로, 이를 미분하면 신호에 왜곡이 발생
  • 그렇기 때문에 미분기 동작은 practical한 동작은 아님 : 필터링 필요
  • 컨트롤러 $D(s)=k_p+\frac{k_ds}{1+s/p}$ : 미분기에 필터 (pole = LPF 역할) 추가
    • lead compensator : 미분기에 근사한 동작을 구현
    • rise time을 감소시켜 응답을 빠르게 만듦
    • Overshoot 감소
    • $K\frac{s+z}{s+p}$ ( p > z )
  • $\phi(jw)=\angle D(jw)=tan^{-1}(\frac{w}{z})-tan^{-1}(\frac{w}{p})>0$ : 컨트롤러는 항상 앞선 위상으로 동작

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• Lag Conpensation : 적분기에 근사한 동작 ( $K\frac{s+z}{s+p}$ ( p < z ) )

  • PI 컨트롤러는 $D(s)=K\frac{s+z}{s}$ 형태로 표현

    • PI 컨트롤러의 feedback system이 동작 중 피드백이 사고로 인해 끊어지는 경우가 있음
    • open loop 시스템에서 PI 컨트롤러는 실제로 정확히 0이 아닌, 미세한 pole 값을 갖게 됨
    • 이 pole이 RHP인 경우 시스템은 불안정 (오차를 적분하므로 계속 누적)

  • Lag compensator는 pole을 LHP로 설정하여 steady-state 정확도를 높임

    • PI controller의 경우 pole=0인 경우 system type이 증가하여 unit step response에 대한 steady state error가 0
    • lag compensator의 경우 차수의 변화가 없어 steady state error가 약간 존재)

  • $\phi(jw)=\angle D(jw)=tan^{-1}(\frac{w}{z})-tan^{-1}(\frac{w}{p})<0$ : 컨트롤러는 항상 지연된 위상으로 동작