[수치해석] 8. Numerical Integration

Numerical Integration

• 수치적 적분은 $\int$대신 $\sum$을 쓰는 원리

Trapezoidal Rule

• 적분 구간의 일부인 [a, b]구간의 적분을 가정 (구분구적법과 유사)
  • $\int_{x_0}^{x_2}f(x)dx\simeq (x_2-x_0)\frac{[f(x_0)+f(x_2)]}{2}$
• 해당 구간의 Linear Lagrange Polynomial $P_1(x)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}f(x_0)+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}f(x_1)$
• Lagrange Method $x_1,\ x_2$를 shifting
  • $L_0=\frac{h-x}{h},\ L_1=\frac{x}{h}$
  • $\int_{x_0}^{x_2}f(x)dx\simeq (2h)\frac{[f(x_0)+f(x_2)]}{2}$
• three-point rule 적용(x-h, 0, x+h)
  • taylor polynomial : $f(x)=f(x_1)+f'(x_1)(x-x_1)+\frac{f''(\zeta)}{2}(x-x_1)^2$
  • a : $\int_{x_0}^{x_2}f(x)=f(x_1)\cdot 2h+\frac{f''(\zeta_x)}{2}(x-x_1)^2$
  • b : $[f(x_0)+f(x_2)]h=2hf(x_1)+[f''(\zeta_1)+f''(\zeta_2)]\frac{h^3}{2}$
  • error = a-b = $\int_{x_0}^{x_1}\frac{f''(\zeta)}{2}(x-x_1)^2-\frac{[f''(\zeta_1)+f''(\zeta_2)]}{2}h^3$
    $=h^3[\frac{f''(\eta)}{3}-\frac{[f''(\zeta_1)+f''(\zeta_2)]}{2}]$
• Error 발생 $\int^h_{-h} f(x)dx\simeq h\frac{[f(h)+f(-h)]}{2}$
  • f(x)=1인 경우 : a=2h, b=2h
  • f(x)=x인 경우 : a=b=0
  • f(x)=$x^2$인 경우 : $\frac{2}{3}h^3\not ={h^3}$(error 발생)

Simpson's Rule

• [a, b]구간을 세 점 (x0, x1, x2)로 가정
• shifting : $x_0=-h,\ x_1=0,\ x_2=h$
  • $\int_{-h}^hf(x)\simeq h\frac{f(-h)+4f(0)+f(h)}{3}$
  • 혹은 $\int_{x_0}^{x_2}f(x)dx=2hf(x_1)+\frac{h^3}{3}f''(x_1)+\frac{f''''(\zeta)}{60}h^5$
• Trapizoidal Rule의 degree of precesion은 1이지만, simpson은 4(전자는 2차식, 후자는 5차식부터 오차 발생)
• Composite Simpson's rule
  

  

  • 함수를 일정 구간으로 나누어 Simpson's Rule을 여러번 적용
  • $I(f)=\int^b_af(x)dx,$
  • $T_n(f)=h[\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2}+\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}+...+\frac{f(x_{n-2})+f(x_{n-1})}{2}+\frac{f(x_{n-1})+f(x_n)}{2}$
    $=h[\frac{f(x_0)}{2}+f(x_1)+...+f(x_{n-1})+\frac{f(x_n)}{2}]$
  • 오차 = $nO(h^3)$ - 간격이 줄어 h가 감소하므로 오차가 대폭 줄어듦

Gaussian Quadratic

• $\int f(x)dx\simeq c_1f(x_1)+c_2f(x_2)$
• Simpson's rule의 변형으로, 양 끝점을 구분부적 하는 대신 구간 내 임의 두개의 점으로 구분구적을 진행
• 미지수 $c_1,\ c_2,\ x_1,\ x_2$를 알기 위한 4개 방정식 필요
• 5개 점(a, x1, 0, x2, b)이 대칭형이라 가정
  • x1 = -x2
  • c1 = c2