[수치해석] 7. Numerical Derivation

Numeriacal Differenctiation

• $f(x)=P_n(x)+\frac{f^{n+1}(\zeta(x))}{(n+1)!}\Pi(x-x_n)=P_n(x)+\frac{f^{n+1}(\zeta(x))}{(n+1)!}\Phi(x)$
• 미분 근사
  • $f'(x)=lim_{h\rarr0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\simeq\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
  • 계산이 단순함
  • 수렴이 느림 = 근사 정확도가 낮음
  • h에 정비례로 오차도 작아짐 (1차 수렴)
• Higher Order method : Lagrange method
  • $f(x)=\Sigma f(x_k)L_k(x)+\frac{f^{n+1}(\zeta(x))}{(n+1)!}\Pi(x-x_n)$
  • 앞의 항은 $P_n(x)$, 뒤의 항은 Error
  • 미분값 $f'(x)=\sum^n_{k=0}f(x_k)L'_k(x)+D_x[\Phi(x)]f^{n+1}(\zeta(x))+\Phi(x)D_x[f^{n+1}(\zeta(x))]$
    • j번째 미분항 $f'(x_j)=\sum^n_{k=0}f(x_k)L'_k(x_j)+\frac{f^{n+1}(\zeta(x_j))}{(n+1)!}\Pi^n_{k=0, k\not ={j}}(x_j-x_k)$
    • 오차를 특정하기보다는 Error Bound를 계산한다.
  • n이 중가할수록 error는 감소

Three-Point Formula

• Lagrange Polynomial (3 basis) : 3개 점을 이용한 근사식
  • $L_0=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}$
  • $L_1=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}$
  • $L_2=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$
• 3-point method : 3개 점이 일정 간격이라 가정 $x_1 = x_0+h,\ x_2=x_0+2h$
  • Lagrange method의 분모항은 모두 $2h^2$으로 통일됨
  • shifting : 3개 점 중 하나를 0으로 치환
• 3-point method를 적용한 미분식
  • $f'(x_0)=\frac{1}{h}[-\frac{3}{2}f(x_0)+2f(x_0+h)-\frac{1}{2}f(x_0+2h)]+\frac{h^2}{3}f'''(\zeta_0)$
  • $f'(x_0+h)=\frac{1}{h}[-\frac{1}{2}f(x_0)+\frac{1}{2}f(x_0+2h)]+\frac{h^2}{6}f'''(\zeta_1)$
  • $f'(x_0+2h)=\frac{1}{h}[\frac{1}{2}f(x_0)-2f(x_0+h)+\frac{3}{2}f(x_0+2h)]+\frac{h^2}{3}f'''(\zeta_2)$
  • h가 절반 >> error항은 2차식이므로 오차는 1/4로 감소
• 미분식 간소화
  • $f'(x_0)\simeq\frac{-3f(x_0)+4f(x_1)-f(x_2)}{2h}$ (back-order form)
  • $f'(x_1)\simeq\frac{-f(x_0)+f(x_2)}{2h}$ (central form)
  • $f'(x_2)\simeq\frac{f(x_0)-4f(x_1)+3f(x_2)}{2h}$ (forward-order form)
  • 세 식이 대칭 구조를 이룸
  • 분자의 계수 합이 0이어야 함

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• $\tilde{x}=x-x_1\ (x_1=x+h)$로 정의
  • Largrange Polynomial $f(x)\simeq f(x_0)L_0(x)+f(x_1)L_1(x)+f(x_2)L_2(x)$를
  • $f(x)\simeq f(x_0)L_0(\tilde{x})+f(x_1)L_1(\tilde{x})+f(x_2)L_2(\tilde{x})$로 치환
  • $L_0(\tilde{x})=\frac{\tilde{x}(\tilde{x}-h)}{2h^2}$
• five point formula
  • $f'(x_0)=\frac{1}{12h}(f(x_0-2h)-8f(x_0-h)+8f(x_0+h)-f(x_0+2h))+\frac{h^4}{30}f^{(5)}(\zeta)$
    • midpoint formula - 가운데 점의 미분
    • $\zeta=[x_0-2h, x_0+2h]$
  • $f'(x_0)=\frac{1}{12h}[-25f(x_0)+48f(x_0+h)-36f(x_0+2h)+16f(x_0+3h)-3f(x_0+4h)]+\frac{h^4}{5}f^{(5)}(\zeta)$
    • endpoint formula - 왼쪽 끝점에서 미분
    • $\zeta=[x_0, x_0+4h]$
  • Error식이 4차 - Order of Convergence = 4
• Order of Convergence 계산
  • Error $E_h=Ch^\alpha$라고 할 때 Order of convergence = $O(h^2)$
  • h값이 1/2로 감소한다고 할때 이전 값은 2h이므로 $E_2h=C(2h)^\alpha$
  • error의 감소분은 $\frac{E_2h}{E_h}=2^\alpha$
  • $\alpha$의 계산은 $log\frac{E_2h}{E_h}/log2$로 구할 수 있음 (Error Of Convergence)

Application of the Formula

• ex. $f(x)=xe^x$
  • f(1.8) = 10.889365, f(1.9) = 12.703199, f(2.0) = 14.778112, f(2.1) = 17.148957, f(2.2) = 19.855030
  • h=0.1, x=1.9 기준으로 한 3-point endpoint formila
    $f(x)=\frac{1}{0.2}[-3f(1.9)+4f(2.0)-f(2.1)]$