[수치해석] 5. Cubic Spline Interpolation

Cubic Spline Interpolation

Piecewise Polynomial

• 임의의 함수 y=f(x)의 근사
• 일정 간격으로 1차(직선)으로 근사 (linear interpolation) 시의 문제점
  • 각 근사 구간의 교점마다 그래프가 각진 형태로 나타남
  • 근사식의 오차가 크게 나타남
• 2차 식으로 근사 시
  • 그래프의 오차는 다소 줄어듦
  • 구간 접점의 문제는 해결 x
• n차 미분이 가능할수록 구간별 연결이 부드럽지만, 과할 경우 진동 문제 존재

Cubic Spline Condition

• 3차 다항식 $a_j+b_j(x-x_j)+c_j(x-x_j)^2+d_j(x-x_j)^3$를 구간별로 분할한 함수 $S,\ S_1,\ ...,\ S_j, S_{j+1},\ S_{n-2},\ S_{n-1}$
• 각 구간별 함수의 접점이 연속(Piecewise)할 것을 요구
• 연결점에서 연속되기 위한 조건 (for all j=0, 1, .. ,n-1)
  • $S_j(x_{j+1})=f(x_j)$
  • $S_{j+1}(x_{j+1})=f(x_{j+1})$
  • 1차 미분 : $S'_j=S'_{j+1}$
  • 2차 미분 : $S''_j=S''_{j+1}$
• 전체 함수의 개수가 갖는 계수는 총 4n개이므로
  • 2n개의 함수 연속 조건
  • n-1개의 1, 2차 미분 연속 조건
  • 총 4n-2개의 연속 조건을 갖게 됨 (2개가 더 있어야 계수의 계산이 가능)
  • 이를 위해 2개 조건을 더 추가 (Boudary Condition)
• Natural Boundary Condition : $S''(x_0)=S''(x_n)=0$ (기울기는 있으나 휨은 없음)
  • free boudary condition이 있는 곡선을 natural spline이라고 함
• ex. (1, 2), (2, 3), (3, 5)를 지나는 natural cubic spline을 구할 것
  • [1, 2]의 구간에서 $S_0(x)=a_0+b_0(x-1)+c_0(x-1)^2+d_0(x-1)^3$
  • [2, 3]의 구간에서 $S_1(x)=a_1+b_1(x-2)+c_1(x-2)^2+d_1(x-2)^3$
  • $f(1) = 2 = a_0,\ f(2)=3=a_0+b_0+c_0+d_0$
  • $f(2) = 3 = a_1,\ f(3)=5=a_1+b_1+c_1+d_1$
  • $S'_0(2)=S'_1(2)\rarr b_0+2c_0+3d_0=b_1$
  • $S''_0(2)=S''_1(2)\rarr 2c_0+6d_0=2c_1$
  • natural boundary condition
    • $S_0''(1)=0\rarr 2c_0=0$
    • $S_1''(3)=0\rarr 2c_1+6d_1=0$

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• Cubic Spline의 계수 찾기

• $(x-x_j) = h_j$로 정의

  • $a_{j+1}=a_j+b_jh_j+c_jh_j^2+d_jh_j^3$
  • $b_{j+1}=b_jh_j+2c_jh_j+3d_jh_j^2$
  • $c_{j+1}=c_j+3d_jh_j$

• $c_j, c_{j+1}$을 안다고 할 때

  • $a_{j+1}=a_j+b_jh_j+\frac{h_j^2}{3}(2c_j+c_{j+1})$
  • $b_{j+1}=b_j+h_j(c_j+c_{j+1})$
  • b에 대해 정리하면 $b_j=\frac{1}{h_j}(a_{j+1}-a_j)-\frac{h_j}{3}(2c_j+c_{j+1})$
    • $b_{j-1}$에 대해 $b_{j-1}=\frac{1}{h_{j-1}}(a_{j}-a_{j-1})-\frac{h_{j-1}}{3}(2c_{j-1}+c_j)$
    • 식을 정리하면 $b_j=b_{j-1}+h_{j-1}(c_{j-1}+c_j)$

• $b_j-b_{j-1}$을 대입하여 정리하면
  $\rarr h_{j-1}c_{j-1}+2(h_{j-1}+h_j)c_j+h_jc_{j+1}=\frac{3}{h_j}(a_{j+1}-a_j)-\frac{3}{h_{j-1}}(a_j-a_{j-1})$

  • a, h값을 알면 c를 계산 가능
  • a, c를 이용하여 b 계산 : $b_j=\frac{1}{h_j}(a_{j+1}-a_j)-\frac{h_j}{3}(2c_j+c_{j+1})$
  • c, h를 이용하여 d 계산 : $c_{j+1}=c_j+3d_jh_j$